Extremwertaufgabe Rechteck in Kreis

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13.05.2004, 23:46	mmoaxle	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe Rechteck in Kreis Also habe ein problem bei dieser Aufgabe die unser tutor mir netterweise gegeben hat nur irgendwie komm ich nicht weiter: Gegeben ist ein Kreis mit dem Radius 10cm. in diesen kreis soll nun ein rechteck gelegt werden das einen maximalen Flächeninhalt besitzten soll. Danach soll ich mir noch gedanken über den umfang machen. Ich bitte um schnelle hilfe danke schon mal im vorraus dritte stunde extremwert aufgaben kann schon so die grundlagen
13.05.2004, 23:53	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe Haste schon Bedingungen bzw. Gleichungen aufgestellt?
13.05.2004, 23:54	mmoaxle	Auf diesen Beitrag antworten »
ansonsten hab ich nur die zielfunktion ich häng an der nebenbedingung
13.05.2004, 23:56	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechteck solls sein. Was hast du denn gegeben? Den Radius! Jetzt Gleichung zwischen Radius und den Seiten aufstellen!
13.05.2004, 23:57	mmoaxle	Auf diesen Beitrag antworten »
wie ?? ^^ ich sitzt im moment irgendwie auf dem schlauch ich schaff es einfach nich die in eine beziehung zu setzt en bzw. auszudrücken
14.05.2004, 00:00	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Mach mal ne Skizze. Jetzt hast du eine Rechteck mit den Seiten a und b! Und den Radius hast du gegeben. Was ist denn mit dem Radius auch noch gegeben, denk mal kurz nach, is eigentlich ganz einfach.
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14.05.2004, 00:04	mmoaxle	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich habe den flächeninhalt des kreises halt und noch die diagonale
14.05.2004, 00:05	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ne einfacher! Ne andere Strecke!
14.05.2004, 00:06	mmoaxle	Auf diesen Beitrag antworten »
die diagonale?
14.05.2004, 00:07	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig! Der Durchmesser und somit die Diagonale des Rechtecks! Und jetzt Beziehung zwischen Diagonale und den Seitenlängen?
14.05.2004, 00:08	mmoaxle	Auf diesen Beitrag antworten »
20cm = wurzela²+b² 400cm = a²+b²
14.05.2004, 00:11	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja richtig Pythagoras. Nur so bringt dich das nicht weiter. Ich stell die Gleichung mal um: $\begin{align} (20cm)^2\ =\ a^2\ +\ b^2 \end{align}$ Hauptbedingung: $\begin{align} A\ =\ a\ \cdot \ b \end{align}$ Und was kann man jetzt machen?
14.05.2004, 00:14	mmoaxle	Auf diesen Beitrag antworten »
a = sqrt(400cm-b^2) einsetzten und ausrechnen oder?
14.05.2004, 00:16	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt musst du das in deine Flächeninhaltsformel einsetzen!!! Ausrechnen geht nicht so einfach, da du 2 Variablen hast. Was willste da ausrechnen??
14.05.2004, 00:18	mmoaxle	Auf diesen Beitrag antworten »
ich setzte jetzt a =sqrt(400cm-b²) ein und bekomme dann A = sqrt(400cm-b²) * b das dann nach b auflösen und dann hab ich b, oder?
14.05.2004, 00:21	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Du kannst es nicht nach b auflösen, da es eine biquadratische Gleichung wird. 2. Auch wenn du es nach b, auflösen würdest, es würde dir nichts bringen, da auf der linken Seite immernoch da Variable A stehen würde! Du hättest keine genau Länge für b!
14.05.2004, 00:26	mmoaxle	Auf diesen Beitrag antworten »
und dann weiter ? sry ich bein ein wenig neben der spur ... einsetzten erste ableitung ziehen?
14.05.2004, 00:30	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, du hast die Gleichung: $\begin{align} A\ =\ \sqrt{400cm^2\ -\ b^2}\ \cdot \ b \end{align}$ Jetzt erst mal die Wurzel weg, also quadrieren wir die ganze Gleichung: $\begin{align} A^2\ =\ (400cm^2\ -\ b^2)\ \cdot \ b^2 \end{align}$ $\begin{align} A^2\ =\ b^2\ \cdot \ 400cm^2\ -\ b^4 \end{align}$ $\begin{align} A^2\ =\ -\ b^4\ +\ b^2\ \cdot \ 400cm^2\ \end{align}$ So und jetzt soll der Flächenihalt A maximal werden. Also soll auch $\begin{align} A^2 \end{align}$ maximal werden! Sieh die letzte Gleichung mal als Funktion an!! Klingelts??
14.05.2004, 00:38	mmoaxle	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hatte eben ne idee aber war mist ich kapitulliere ... wollte das ganze mit der pq-formel machen
14.05.2004, 00:39	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann folgende Frage: Hast du schonmal was von ableiten oder Differentialrechnung gehört???
14.05.2004, 00:41	mmoaxle	Auf diesen Beitrag antworten »
ja ^^ das heisst jetzt ich ziehe die erste ableitung nur das A² irtiert mich
14.05.2004, 00:49	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst auch einfach die erste Ableitung machen, auch wenn da ein $\begin{align} A^2 \end{align}$ ist! Überlegung dazu: Der Flächeninhalt A soll maximal werden. Dazu gehört ein bestimmter Wert von b. Wenn A maximal werden soll, kann man schließen, dass wenn man $\begin{align} A^2 \end{align}$ hat und die ganze Funktionsgleichung quadriert hat, auch das Maximum $\begin{align} A^2 \end{align}$ das gleiche b hat! (Stell dir mal den Graphen vor, das ist eigentlich ne umgedrehte Parabel. Da hast du einen Maximalwert auf der y-Achse, wobei der y-Wert der Flächeninhalt A ist und der dazugehörige x-Wert dein b. Wenn du jetzt den Flächeninhalt quadrierst, dann wird die Parabel nur höher, aber am Maximalpunkt bleibt der gleiche x-Wert (also dein b)! Also kannst du einfach die Ableitung von A² bilden und hast trotzdem den gleichen Wert für b!!!). Kannst ja mal die Ableitung hinschreiben! --------------------------------------------------------------Edit--------------------------------------------------------------- Ich hab nochmal genau darüber nachgedacht und ein paar Graphen dazu zeichnen lassen. Dann habe ich festgestellt, dass, was ich da geschrieben habe, nur teilweise stimmt. :P Ich stell mal meine Fehler klar: 1. Der Graph von A ist keine umgedrehte Parabel!!!!! Der Graph von A² somit auch nicht!!!! 2. Hier dann eine verbesserte Erklärung/Begründung: Wenn man eine Funktionsgleichung hat, wobei y maximal werden soll, dann kann man davon ausgehen, dass der Graph einen Hochpunkt (Maximalpunkt) hat (sonst wäre die Extremwertaufgabe nicht gestellt worden). Man stelle sich nun den Graphen bildlich vor. Jedem x-Wert wird genau ein y-Wert zugeordnet. Wird nun die ganze Funktionsgleichung quadriert, so werden auch die y-Werte quadriert. Je größer ein y-Wert ist, desto größer ist auch sein Quadrat. War nun vorher bei einem x-Wert $\begin{align} x_m \end{align}$ ein Hochpunkt, so ist bei dem quadrierten Graph nun wieder bei $\begin{align} x_m \end{align}$ ein Hochpunkt. War er zusätzlich (wie in diesem Falle) auch Maximalpunkt mit dem y-Wert $\begin{align} y_m \end{align}$ , so ist er dies auch bei dem Graph von $\begin{align} y^2 \end{align}$ genau dann, wenn beim Graph von y kein y-Wert einen größeren Betrag hatte, als $\begin{align} y_m \end{align}$ selbst. Zu dem Maximalpunkt mit dem y-Wert $\begin{align} y_m \end{align}$ gehörte in der Funtkion von y genau ein x-Wert $\begin{align} x_m \end{align}$ , wobei $\begin{align} y\ =\ f(x) \end{align}$ . Wird nun y quadriert, so wird auch $\begin{align} f(x) \end{align}$ quadriert. Wird also $\begin{align} y_m \end{align}$ quadriert, so wird auch $\begin{align} f(x_m) \end{align}$ quadriert. Da aber zu $\begin{align} y_m \end{align}$ der x-Wert $\begin{align} x_m \end{align}$ gehört, gehört auch zu $\begin{align} y_m^2 \end{align}$ der x-Wert $\begin{align} x_m \end{align}$ , da ja $\begin{align} y_m^2\ =\ (f(x_m))^2 \end{align}$ . Somit kann man auch die Funktionsgleichung quadrieren und dann ableiten und man findet den gleichen x-Wert (und vielleicht noch andere (Bsp. Sinusfunktion)). Diese Aussage ist sogar erweiterbar: Man kann nicht nur quadrieren, sondern sogar mit beliebigem Exponenten $\begin{align} n\ \in\ \calR \end{align}$ potenzieren, da ja wiederum $\begin{align} y_m^n\ =\ (f(x_m))^n \end{align}$ gilt und somit zu $\begin{align} y_m^n \end{align}$ wieder der x-Wert $\begin{align} x_m \end{align}$ gehört. War $\begin{align} y_m \end{align}$ Hochpunkt und Maximalpunkt und wird die Funktionsgleichung mit n potenziert, wobei $\begin{align} n\ \neq\ 0 \end{align}$ , so ist $\begin{align} y_m^n \end{align}$ wieder Hochpunkt (und ggf. Maximalpunkt) des neuen Graph $\begin{align} y^n \end{align}$ . So, ich hoffe, das haben alle verstanden, da es ja doch einigermaßen allgemein geschrieben ist. Wenn nicht, einfach nachfragen!! Für Kritik bin ich natürlich auch immer zu haben!
14.05.2004, 00:53	mmoaxle	Auf diesen Beitrag antworten »
-4b³+2b-800cm wenn ich nich irre auf was für eine schule gehst du eigentlich das du das mit 16 schon so beherrschst?? respekt kannst du mir vielleicht den rechen weg bis dahin machen bis man b hat ich mein a kann ich dann selbst ausrechnen nur ich glaub ich komm im moment einfach zu nicht viel ohne den richtigen ansatz in meinem hirn ^^
14.05.2004, 00:58	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, nicht ganz. Am besten wir lassen die $\begin{align} cm^2 \end{align}$ mal raus: $\begin{align} A^2\ =\ -\ b^4\ +\ b^2\ \cdot \ 400 \end{align}$ Und zwischen $\begin{align} b^2 \end{align}$ und $\begin{align} 400 \end{align}$ steht ein "mal"!!! Versuchs jetzt nochmal! PS: Ich geh nicht auf ne besondere Schule. Das habe ich mir alles selbst mithilfe der Beiträge in diesem Board hier erarbeitet(!), weil ich so mathebegeistert bin. Aber ab nächstes Jahr geh ich dann auch auf ne Schule, wo Mathetalente gefördert werden.
14.05.2004, 01:00	mmoaxle	Auf diesen Beitrag antworten »
-4b³+2b*400
14.05.2004, 01:03	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt stimmts. So und jetzt, was kannste mit der Ableitung machen!?
14.05.2004, 01:03	mmoaxle	Auf diesen Beitrag antworten »
extremstelle berechnen in dem ich das ganz gleich null setzte
14.05.2004, 01:05	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann bitte vormachen!
14.05.2004, 01:10	mmoaxle	Auf diesen Beitrag antworten »
0 = -4b³+2b400 4b³ =2b400 weiter gehts nicht mehr bei mir im kopf
14.05.2004, 01:12	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Belass es mal in dieser Form: $\begin{align} 0\ =\ -4b^3\ +\ 2b\ \cdot \ 400 \end{align}$ Was ist denn in beiden Faktoren enthalten?
14.05.2004, 01:13	mmoaxle	Auf diesen Beitrag antworten »
b und die 2
14.05.2004, 01:15	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Also was kannst du mit b machen??
14.05.2004, 01:17	mmoaxle	Auf diesen Beitrag antworten »
ausklammern ahhh b(-4b²+2*400) oder hast du icq??
14.05.2004, 01:20	DeGT	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst auch durch b teilen, da die Seitenlänge ja nicht null ist.
14.05.2004, 01:20	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, stimmt. So jetzt hast du die Gleichung $\begin{align} 0\ =\ b\ (-4b^2\ +\ 800) \end{align}$ einfach mal die Summanden in der Klammer vertauschen: $\begin{align} 0\ =\ b\ (800\ -\ 4b^2) \end{align}$ Wann wird die rechte Seite 0 ?
14.05.2004, 01:24	mmoaxle	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn b = sqrt200 ist
14.05.2004, 01:27	DeGT	Auf diesen Beitrag antworten »
genau :] /edit: a müsstest Du ja jetzt ausrechnen können, oder? Und dann ist das schon fertig... /edit2: nachdem ich eurem Gespräch gespannt gelauscht hab und mit meinen Hausaufgaben fertig bin, verabschiede ich mich jetzt in Richtung Bett, ich muss ja um 6 Uhr aufstehen
14.05.2004, 01:27	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau! Aber auch wenn $\begin{align} b\ =\ 0 \end{align}$ und wenn $\begin{align} b\ =\ -\sqrt{200} \end{align}$ ist. Das is aber hier egal, da deine Seitenlänge ja nicht $\begin{align} 0 \end{align}$ oder $\begin{align} -\sqrt{200} \end{align}$ sein kann, da es dann kein Rechteck ist. So jetzt musst du damit a ausrechnen. Wie machst du das??
14.05.2004, 01:30	mmoaxle	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hatte ja 400cm = b² +a² also hab ich nun 400cm = 200cm +a² 200cm = a² also ist a = sqrt 200cm nun noch den flächen in halt ausrechnen der da wäre A = sqrt200*sqrt200= 200cm²
14.05.2004, 01:33	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn das rein zufällig für ein Rechteck (damit du das auch noch erkennst)?

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