Darstellungsmatrix berechnen

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DerHandwerk Auf diesen Beitrag antworten »
Darstellungsmatrix berechnen
Hallo,

ich habe da mal wieder eine Frage.

Folgendes ist gegeben:




Nun soll eine Darstellungsmatrix bezüglich der Standardbasis des berechnet werden.
Mein Ansatz wäre gewesen die bereites vorhandenen Bilder als Linearkombination der Standardbasis aufzuschreiben und die Koeffizienten spaltenweise in die Darstellungsmatrix zu schreiben. Die daraus resultierende Matrix berechnet jedoch keines der obigen Bilder.

In der Musterlösung werden zunächst die 3 Argumente als Linearkombination geschrieben:







Daraus wird nun folgenden Matrix gebildet:



Hier verstehe ich zunächst nicht, warum hier die Koeffizienten nicht spaltenweise abgetragen werden. Danach werden folgende 3 LGS aufgestellt:







Wenn man diese löst wäre die darstellende Matrix dann

Ich verstehe jedoch leider nicht, warum diese Gleichungssysteme aufgestellt werden könne. Für jegliche Hilfe wäre ich sehr dankbar! Gott
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Darstellungsmatrix berechnen
Zunächst einmal solltest du bei Aufgaben, in denen verschiedene Basen auftauchen, diese Kennzeichnen. Die Vektoren sind hier bzgl. Ster Standardeinheitsbasis angegeben. Daher kommt erst einmal die Aufschlüsselung der Urbilder:

Zitat:



etc.


Wäre die Abbildung nun bzgl. der Basis E angegeben, könnten wir die Matrix direkt hinschreiben. Dies ist aber nicht der Fall. Wir wissen zunächst z.B. nur:



Um die Matrix zu bestimmen, brauchen wie die Bilder der Einhetisvektoren unter d. Nun gilt für Lineare Abbildungen:



Nun müssen wir die Standardeinheitsbasis aus den drei Urbilder kombinieren. Es gilt also folgende LGS zu lösen (Gebe nur das erste an)



mit Gauss gibt das:





Könntest du so A aufstellen? Bzw. die Bilder der Basisvektoren berechnen?
DerHandwerk Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich nun die anderen beiden LGS lösen dann bekommen ich die folgenden drei Vektoren:




Bilden diese 3 nun zusammen schon die Darstellungsmatrix?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, diese Vektoren geben uns an, wie wir die Einheitsvektoren als LK der hier angegebenen Urbilder darstellen können. Damit kannst du aber nun mit dem Hinweis:

Zitat:


die Bilder der Standardeinheitsbasis berechnen. Schreibe dazu die Bilder in die Matrix



Und multipliziere die von dir eben bestimmten Vektoren mit dieser Matrix. Die Ergebnisse sind die Spalten der gesuchten Matrix A.




Überprüfe ob deine Rechnung indem Du die Bilder der Basisvektoren bestimmst:

DerHandwerk Auf diesen Beitrag antworten »

Hammer Hammer

Vielen Dank! Jetzt hab ich auch endlich verstanden wozu der Hinweis nützlich ist, der ist mir bei früheren Nachforschungen auch schon unter gekommen.


Danke!
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