zwei Endomorphismen

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Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »
zwei Endomorphismen
Hey

ich habe zwei kommutierende Endomorphismen f und g, also

Und

Ich soll zeigen, wenn f und g beide diagonalisierbar sind, so besitzen sie eine gemeinsame Eigenbasis.

Wenn f und g diagonalisierbar sind, heißt das ja, dass sie erstmal überhaupt eine Basis besitzen...

Sei jetzt eine Eigenbasis von V bzgl. f, dann gilt ja:



jetzt muss ich doch zeigen, dass gilt:



aber das gilt ja nicht für jede Eigenbasis bzgl. f, sondern nur für eine bestimmte, oder?

also ich komme einfach nicht mit meinem Ansatz weiter...
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: zwei Endomorphismen
Statt der Basis hast du sogar eine Orthogonalbasis. Ansonsten versuche einfach mal die Voraussetzung mit der Vertauschbarkeit auszunutzen. Die Argumente zum Herumprobieren sind dabei die Vektoren deiner Orthogonalbasis.

Grüße Abakus smile
 
 
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

was ist denn eine Orthogonalbasis?
Ace Piet Auf diesen Beitrag antworten »

> was ist denn eine Orthogonalbasis?
Forum Kloppe Ernsthaft???

Antwort:
(1) eine Basis mit der zusätzl. Eigenschaft (2)
(2) Skalarprodukt (deshalb orthogonal)
_________________

P.S.:

Edit: (ergänzt) FYI
*Wiki-Klick* orthogonal --> o. Vektoren \ o. Matrizen
*Wiki-Klick* orth.Matrix --> "Was sind die Spalten einer o.Matrix ?"

Antwort auf eine nicht gestellte Frage: Wie kommt "Linearität" in eine Abbildung hinein? Siehe 29.03.06 - 16:36 (ff.) läßt sich ohne Probleme auf "Wie kommt Orthogonalität in eine Matrix / Abb. rein" übertragen. - Lösung: Es sind alles NUR Abbildungen in V bzgl. verschiedenen Basis-/ (Träger)-Darstellungen... - HTH *sorry*
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaub das kann ich nicht benutzen - wir haben noch nicht bewiesen, dass eine Eigenbasis eine Orthogonalbasis ist...
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Es seien v, w Eigenvektoren zu Eigenwerten von f und f diagonalisierbar. Dann gilt:

.

Wenn , kann diese Gleichung nur bestehen, wenn <v, w> = 0.

Grüße Abakus smile
supertux Auf diesen Beitrag antworten »
skalarprodukt
Ein Skalarprodukt kannst du doch aber nur verwenden, falls es sich um einen Vektorraum V über R oder C handelt... F_2 ist ja nicht geordnet z. B. ....
jester. Auf diesen Beitrag antworten »
RE: skalarprodukt
Zitat:
Original von supertux
Ein Skalarprodukt kannst du doch aber nur verwenden, falls es sich um einen Vektorraum V über R oder C handelt... F_2 ist ja nicht geordnet z. B. ....


Richtig, und auch über hat nicht jeder diagonalisierbare Endomorphismus zueinander orthogonale Eigenräume. Selbstadjungierte Endomorphismen erfüllen diese Eigenschaft jedoch z.B. stets.

Edit: Ein Gegenbeispiel liefert , die Eigenräume sind von und erzeugt.
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