Analytische Geometrie

20.04.2006, 20:23

rainbow

Analytische Geometrie

Hallo!

Nachdem ich dank euch Mathe I erfolgreich (!) abschließen konnte :-) , geht es nun mit Mathe II weiter: Vektoren und alles was dazu gehört.

Habe ein paar simple Aufgaben hier, wozu ich allerdings ein paar Fragen habe.

Gegeben sind die Vektoren

$\begin{eqnarray*} \vec a = \frac {1}{ \sqrt 5} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec b = \frac {1}{2} \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt soll $\begin{eqnarray*} \vec a + \vec b \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \vec a - \vec b \end{eqnarray*}$ berechnet werden.

Zum einen:

Lässt sich ersteres irgendwie elegant lösen ohne dass ich $\begin{eqnarray*} \sqrt 5 \end{eqnarray*}$ ausrechnen muss???

Für die Längen hab ich für beide Vektoren 1 raus und für den Winkel zwischen den Vektoren 116,57 °.

Kann mir jmd die Ergebnisse bestätigen? Hab ein ungutes Gefühl :-D

Dann eine sehr komische Frage:

"Bestimmen Sie den Anteil von $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ in Richtung $\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ "

Kann mir jmd sagen, was damit gemeint ist?

Das war's erst mal..
.. wär lieb, wenn mir jmd antwortet =)

lg
die rainbow..

20.04.2006, 20:58

JochenX

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zum Addieren (Subtrahieren) ist stures Komponentenzusammenschreiben ja wohl nicht zu aufwändig

Winkel scheint zu stimmen ist ja auch pures Einsetzen
Norm je =1 stimmt natürlich auch (deswegen ja auch diese depperten Vorfaktoren, man nennt das "normieren")

Mach dir für die letzte Frage mal eine Skizze; a lässt sich als Vektorsumme schreiben; ein Vektor "in Richtung" b (parallel dazu), einer ohne Komponente in b-Richtung (senkecht zu b)

20.04.2006, 20:59

Poff

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RE: Analytische Geometrie
Du musst sqrt(5) nicht ausrechnen, sondern mit DURCHSCHLEPPEN

Multiplizier die Faktoren in die Vektorkomponenten rein und
dann komponentenweise addieren bzw subtrahieren.

Dann schaust zu ob's noch zu vereinfachen geht, evtl
Faktor rausziehen, aber NICHT weglassen.

21.04.2006, 08:40

riwe

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RE: Analytische Geometrie

Zitat:

Dann eine sehr komische Frage:

"Bestimmen Sie den Anteil von $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ in Richtung $\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ "

Kann mir jmd sagen, was damit gemeint ist?

löse das problem z.b. so:
zerlege $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ in einen anteil parallel zu $\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ - das ist das, was du suchst - und einen, der senkrecht zu $\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ steht.
mit $\begin{eqnarray*} \vec{b}_p= \lambda\vec {b } \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \vec{b}_s= \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hast du dann
$\begin{eqnarray*} \vec{a}= \lambda\vec {b }+\vec{b}_s \text{ mit }\vec{b}\cdot\vec{b}_s=0 \end{eqnarray*}$
und nun löse das lgs.
werner

edit: (tipp)fehler korrigiert ( b statt a)
und geometrisch gemeint ist damit die projektion von $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ . und das wäre auch ein weg - und vermutlich der einfachere - du berechnest das ganze über das skalarprodukt.

22.04.2006, 23:05

rainbow

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Hallo!
Erst mal bedanke ich mich für die Antworten!

@ LOED: Es ging nicht um Aufwand, mir hat es nur widerstrebt, eine Dezimalzahl als Vektorkomponente zu schreiben, außerdem sagt der Prof immer, alle Aufgaben lassen sich ohne Taschenrechner lösen.. naja egal.

@ wernerrin
Das war jetzt echt ne Schwergeburt =) Hab mir Ewigkeiten Gedanken gemacht über das was du geschrieben hast.. aber weitergekommen bin ich nicht.. jetzt eben gerade wo ich schon posten wollte, dass ich es nicht hinbekomme, hat es plötzlich klick gemacht (und ich komme auch auf 0,4472)

Da hat sich bei dir auch ein kleiner Fehler eingeschlichen glaub ich und $\begin{eqnarray*} \vec{a}\cdot\vec{b}_s=0 \end{eqnarray*}$ müsste eher heißen $\begin{eqnarray*} \vec{b}_p\cdot\vec{b}_s=0 \end{eqnarray*}$ ?

So, aber nun prinzipiell meine Frage (alleine wär ich da nämlich nicht drauf gekommen...):
Woher weiß ich denn, dass ich den Vektor a gerade SO zerlegen muss, dass die entstehenden Vektoren orthogonal zueinander sind? und dass der Teil, der dann parallel zu b ist, mein gesuchter "Anteil" ist? Ich könnte den Vektor a ja beliebig zerlegen, so dass dieser Teil auch größer/kleiner ist..
wie geht das denn aus der Aufgabe hervor? verwirrt

Und was meintest du mit dem einfacherem Weg, wie ich das alles noch hätte berechnen können?

Noch mal dankeeee!

lg

22.04.2006, 23:43

Poff

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Nur, damit du's nicht missverstanden hast ...
so etwa sehen die Resultate aus

a+b = (2/5*sqrt(5) ; 1/5*sqrt(5)-1)

a-b = (2/5*sqrt(5) ; 1/5*sqrt(5)+1)

23.04.2006, 09:44

rainbow

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RE: Analytische Geometrie
Danke, habs genauso gemacht nur eben noch ausgerechnet, wusste nicht dass man das +/- 1 da noch stehenlassen kann...

SO:
Jetzt hab ich aber noch ein ganz anderes Problem unglücklich

War gestern happy, dass ich die Aufgabe mit dem Anteil von a in Richtung b DACHTE hingekriegt zu haben... nun habe ich aber eben irgendwo gelesen, dass man Vektoren nicht durcheinander teilen darf. Genau das habe ich aber bei meiner Rechnung gemacht... und zufällig kam wohl das richtige Ergebnis raus...

Kann ja mal gerad sagen was ich gemacht habe.

$\begin{eqnarray*} \vec{a}= \lambda\vec {b }+\vec{b}_s \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} \vec{b}_s = \vec{a} - \lambda\vec {b} \end{eqnarray*}$
Dieser ist senkrecht zu $\begin{eqnarray*} \vec{b}_p \end{eqnarray*}$ , also erhalten wir
$\begin{eqnarray*} \vec{b}_p\cdot ( \vec{a} - \lambda\vec {b}) =0 \end{eqnarray*}$

Dann habe ich für $\begin{eqnarray*} \vec{b}_p , \lambda\vec {b} \end{eqnarray*}$ eingesetzt, $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ausgeklammert, die Klammer gleich 0 gesetzt, und dann hab ich irgendwann da stehen $\begin{eqnarray*} \lambda = \frac { \vec a}{ \vec b} \end{eqnarray*}$

Also ist das wohl komplett f alsch...
Wie war es denn gemeint?

lg

23.04.2006, 14:57

riwe

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RE: Analytische Geometrie
da hast du recht, ich habe nich vertippt, sollte b statt a heissen.
(habe es oben korrigiert)
zunächst die einfach(st)e lösung: die vektoren sind ja netterweise normiert, also multiplzieren einfach a mit cos(alpha).
und nun der andere weg:
$\begin{eqnarray*} \vec{b} \cdot\vec{b}_s=0\Rightarrow \vec{b}_s=\begin{pmatrix} b_1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} =\lambda \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} b_1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und jetzt kannst du lambda und b1 ausrechnen, und mit viel glück kommt das selbe raus wie bei lösungsweg 1.
werner

23.04.2006, 15:03

Poff

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RE: Analytische Geometrie

Zitat:

Original von rainbow
Dann eine sehr komische Frage:

"Bestimmen Sie den Anteil von $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ in Richtung $\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ "

Kann mir jmd sagen, was damit gemeint ist?.

Physikalisch gesehen ist das der Anteil von a der in Richtung b
wirksam ist, zieht, drückt oder was auch immer.

Geometrisch ist's die vertikale Projektion von a auf b (Werners Bild)

und damit so berechenbar

x = a*b/|b| * b/|b| = a*b/|b|^2 * b = -1/5*sqrt(5)*(0;-1)

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