Numerik: Auslöschung

21.04.2006, 11:12

Buschi

Numerik: Auslöschung

hi,
ich muss folgende Funktion auf eine stabilere Form bringen. (Für x=29.999)

$\begin{eqnarray*} f(x)_1=ln(x- \sqrt[2]{x^2-1}) \end{eqnarray*}$

Jedoch fällt mir keine andere Umformung als

$\begin{eqnarray*} f(x)_2=ln(1/(x+ \sqrt[2]{x^2-1})) \end{eqnarray*}$
wenn ich dann beide Funktionen auswerte bekomme
ich für

$\begin{eqnarray*} f(x)_1= -4.09403331618 \end{eqnarray*}$ Ergebnisse laut Ti 89 Titanium
$\begin{eqnarray*} f(x)_2= -4.09403331621 \end{eqnarray*}$

Nur ist $\begin{eqnarray*} f(x)_2 \end{eqnarray*}$ dadurch ja nicht stabiler geworden sondern eher schlechter, da $\begin{eqnarray*} f(x)_1>f(x)_2. \end{eqnarray*}$ Daraus folgt dass der Therm in der Klammer näher an Null liegt.

Also welche umformung muss ich machen, damit die Funtkion stabiler wird.

21.04.2006, 11:37

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$\begin{eqnarray*} (x-\sqrt{x^2-1})(x+\sqrt{x^2-1}) = x^2-(x^2-1) = 1 \end{eqnarray*}$

21.04.2006, 11:37

donkarabelas

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erweitere doch mal mit dem konjugierten term innerhalb des ln, und schau mal was dann passiert, das finde ich besser.

21.04.2006, 11:42

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@Buschi

Irgendwie sah dein Beitrag vorhin noch anders aus... Aber anscheinend bist du jetzt auf der richtigen Spur, wie von donkarabelas und mir vorgeschlagen.

21.04.2006, 11:43

Buschi

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So langsam glaub ich, dass es am Ti 89 liegt.

Sorry wegen des "Edit". Hatte grad nen Geistesblitz mit dem erweitern. Komme aber immer noch auf ein falschen Schluss. Liegt vielleicht am Taschenrechner

21.04.2006, 11:53

donkarabelas

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nein der term in der klammer liegt nicht nahe bei null sondern weiter entfernt davon, löse doch einfach mal deinen Bruch innerhalb des ln bei $\begin{eqnarray*} f_2(x) \end{eqnarray*}$ auf, dann siehst du warum die ergebnisse so sind wie sie sind.

21.04.2006, 11:53

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Deine Schlußfolgerungen kann ich nicht nachvollziehen: Die Berechnung

$\begin{eqnarray*} f(x)_2 = -\ln(x+\sqrt{x^2-1}) \end{eqnarray*}$

ist für große positive $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ klar stabiler als die mit $\begin{eqnarray*} f(x)_1 \end{eqnarray*}$ .

21.04.2006, 11:58

Buschi

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habe grad vom Freund $\begin{eqnarray*} f_2(x) \end{eqnarray*}$ mit einem normal Taschenrechner rechnen lassen.
Da kam dann $\begin{eqnarray*} f_2(x)=-4.094033316 \end{eqnarray*}$ heraus.

Somit ist der zweite Algorithmus stabiler.

Also Problem gelöst...

Nachtrag:

Da $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} ln(x)=-\infty \end{eqnarray*}$ lag der Ausdruck von f_2(x) in der Klammer näher an der Null als der von f_1(x)

21.04.2006, 12:06

donkarabelas

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äh nein, da der term bei $\begin{eqnarray*} \ln{(x+\sqrt{x^2-1})} \end{eqnarray*}$ NIE null werden kann.

21.04.2006, 12:15

Buschi

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worauf bezieht sich das "äh nein"?

Darauf das f_2 stabiler ist?

Und weils grad soviel spass macht bräucte ich noch nen stabileren Algorithmus für

$\begin{eqnarray*} f(x)=1-e^{x^{-3}} \end{eqnarray*}$

21.04.2006, 12:20

donkarabelas

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daruf, das deine annahme der term innerhalb des ln bei f2 sei näher bei null, habe ich oben angeführt warum das nicht sein kann.

im schlechtesten fall bekommst du denke ich innerhalb des ln eine zahl, die in etwa dem doppelten der ursprünglichen zahl entspricht, und dieser ln existiert im gegensatz zu 0, weswegen das um einiges stabiler ist, da hier auslöschung nicht auftreten kann, aufgrund der addition.

21.04.2006, 12:21

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Für große $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ reichen da sehr wenige Glieder der Taylorreihe.

EDIT: Bezieht sich natürlich auf $\begin{eqnarray*} f(x)=1-e^{x^{-3}} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

21.04.2006, 12:22

donkarabelas

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Zitat:

Original von Buschi
Und weils grad soviel spass macht bräucte ich noch nen stabileren Algorithmus für

$\begin{eqnarray*} f(x)=1-e^{x^{-3}} \end{eqnarray*}$

hmm, ich würde hier das gleiche spielchen treiben wie oben.

21.04.2006, 12:32

Buschi

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für ein festgelegtes x (hier x=29.999) stimmt meine Aussage schon.

der eine Wert liegt bei -4.097033318 (f_1) und der andere bei -4.097033321 (f_2) mit dem Ti 89 gerechnet. Da -4.097033321 näher an - $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ liegt, muss der Wert in der Klammer jawohl näher an der null liegen.

Also Taylor würd ich mal auschließen, weil das ja nur eine Näherung ist.
Und man soll den Algorithmus ja nur umformen und nicht verformen.

Gleiches spielchen wie oben klappt nicht weil man wegen der 3. Binomischen formel wieder ein Minus in den zähler bekommt.

21.04.2006, 13:25

Abakus

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Einen Berechnungs-Algorithmus hast du derzeit noch nicht. Schreib doch die Taylorformel mal hin und schau dir an, wie genau die ist. Durch geeignete Wahl der Anzahl der Reihenglieder erreichst du jede Genauigkeit, die du haben willst.

Grüße Abakus smile

EDIT: Text

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