Sehne eines aussermittigen Kreisausschnitts

12.07.2008, 19:57

VascoW

Sehne eines aussermittigen Kreisausschnitts

Hallo!

Ich stehe gerade vor folgenden Problem:

Ich soll die Länge der Sehne (S) bestimmen zu einem Kreisauschnitt mit einem Winkel von 45°. Dieser Kreisausschnitt liegt leider nur nicht im Mittelpunkt, sondern ist um das Mass r1 nach aussen versetzt.
Alle meine Ansätze scheitern leider genau wegen diesem Versatz (der in dem Anwendungfall ziemlich groß ist (1/2 bis 2/3 von r2) und daher nicht vernachlässigt werden kann).

Irgendwie habe ich jetzt schon jede Menge gemalt und Formeln gesucht, aber es will nicht gelingen.

Kann mir einer von euch sagen, wonach ich noch mal suchen könnte oder welche Annahme ich evtl übersehen habe?

Also so sieht mein Anwendungsfall aus:
Wobei gilt: S gesucht, r1 und r2 sind bekannt, stehen aber nicht in einem festen Verhältnis. Der Winkel ist immer 45°
[attach]8429[/attach]

Ich danke schon mal für alle Denkanstöße!

12.07.2008, 20:11

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[attach]8430[/attach]

Dieses Dreieck gilt es in den Griff zu kriegen - und das klappt:

Die zwei fett gemalten Seiten sind bekannt ( $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ ), der gelb gezeichnete stumpfe Winkel ebenfalls:

$\begin{eqnarray*} 180^{\circ} - \frac{45^{\circ}}{2} = 157.5^{\circ} \end{eqnarray*}$

Damit kannst du den spitzen Umfangwinkel rechts (Sinussatz und Dreieckwinkelsumme) berechnen, und in der Folge dann auch deine gesuchte Sehnenlänge.

12.07.2008, 20:33

VascoW

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hm demnach ergiebt das:

$\begin{eqnarray*} S=2*\sin(\alpha)*\sqrt{r2^{2}+r1^{2}-2*r1*r2*\cos(180-\alpha/2)} \end{eqnarray*}$

das sieht zu einfach aus um wahr zu sein. Werde es aber mal an ein paar Beispielen erproben.
Danke für die schnelle Antwort.

12.07.2008, 20:40

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Zitat:

Original von VascoW
$\begin{eqnarray*} S=2*\sin(\alpha)*\sqrt{r2^{2}+r1^{2}-2*r1*r2*\cos(180-\alpha/2)} \end{eqnarray*}$

Hmm, das kann ich nicht nachvollziehen, wo du hier in der Art den Kosinussatz anwenden willst. unglücklich

Ich hatte (wie bereits oben erwähnt) an den Sinussatz gedacht.

12.07.2008, 21:29

Leopold

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Bei der Umsetzung von Arthurs Programm habe ich

$\begin{eqnarray*} s = \frac{1}{2} \left( \sqrt{2 - \sqrt{2}} \cdot \sqrt{ 4 \, r_2^{\, 2} - \left( 2 - \sqrt{2} \right) r_1^{\, 2}} - \sqrt{2} \ r_1 \right) \end{eqnarray*}$

bekommen. Die Konstruktion mit Euklid hat damit funktioniert (siehe Anhang).

14.07.2008, 23:42

Poff

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Für 'beliebige' Öffnungswinkel alpha schauts z.B. so aus

$\begin{eqnarray*} s\,=\,\left (\sqrt {{\frac {{r}^{2}\left (\cos\alpha-1\right )+2\,{R}^{2}}{1+\cos\alpha}}}-r\right )\sin\alpha \end{eqnarray*}$

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