Ideale

14.07.2008, 19:02	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Ideale Hallo, Sei $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ ein kommutativer Ring mit 1, $\begin{eqnarray} A \subseteq R \end{eqnarray}$ nicht leer und $\begin{eqnarray} (A) \end{eqnarray}$ das von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ erzeugte Ideal. Weiterhin sei $\begin{eqnarray} M =\left\{ r_1a_1+ \dots +r_ma_m : m\in\mathbb{N}, r_i\in R, a_j\in A\right\} \end{eqnarray}$ die Menge der Linearkombinationen von Elementen aus A. Ich soll zeigen, dass sich $\begin{eqnarray} (A) = M \end{eqnarray}$ ist. Der Beweis ist relativ einfach. $\begin{eqnarray} (A) \subseteq M \end{eqnarray}$ , gilt weil $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ ein Ideal ist, dass $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ enthält. Sonst wäre $\begin{eqnarray} (A) \end{eqnarray}$ nicht das kleinste Ideal, dass $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ enthält. $\begin{eqnarray} M \subseteq (A) \end{eqnarray}$ folgt mit Induktion. Was mir Probleme bereitet ist das intuitive Verständnis. Warum gibt es für jedes Element im Ideal eine Darstellung als Linearkombination von Elementen aus A
14.07.2008, 19:12	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir ist dein Problem jedenfalls nicht klar. Vielleicht erkennt es ja jemand anderes.
14.07.2008, 19:41	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Klar ist, dass $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ ein Ideal ist und $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ enthalten ist. Eigentlich müsste auch $\begin{eqnarray} (A) \subseteq M \end{eqnarray}$ gelten, da $\begin{eqnarray} (A) \end{eqnarray}$ sonst nicht minimal bzgl. $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ wäre. Ich suche mehr oder weniger einen konstruktiven Beweis dafür, wenn ich also ein $\begin{eqnarray} a\in (A) \end{eqnarray}$ gegeben habe, wie finde ich dann eine Linearkombination? Und die zweite Frage, wozu brauch ich die 1?
14.07.2008, 19:59	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, das kommt darauf an, wie ihr $\begin{eqnarray} (A) \end{eqnarray}$ definiert habt. Man kann es auch so definieren wie die Menge M
14.07.2008, 20:16	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Definition: Ein Ideal I ist eine additive Untergruppen eines kommutativen Rings R, für welche zusätzlich $\begin{eqnarray} \forall r\in R: r\cdot I \subseteq I \end{eqnarray}$ gilt. Mein letzter Beitrag war übrigens nicht richtig. Es lässt sich nur zeigen, dass M ein Ideal ist, dass A enthält, wenn man die 1 zur Verfügung hat. Es gilt also nicht automatisch $\begin{eqnarray} (A) \subseteq M \end{eqnarray}$ . Damit kann man dann schon eine Linearkombination für $\begin{eqnarray} a\in A\subseteq (A) \end{eqnarray}$ angeben, nämlich $\begin{eqnarray} 1\cdot a \in M \end{eqnarray}$ . Mit $\begin{eqnarray} a \in (A) \setminus A \end{eqnarray}$ wirds aber schwer
14.07.2008, 20:23	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Rein anschaulich kannst du es doch so betrachten: (A) ist das kleinste Ideal das A enthält, die kleinste Untergruppe bezüglich der Addition die aber alle Elemente von A enthält ist gerade $\begin{eqnarray} <a \| a \in A> \end{eqnarray}$ also das Erzeugnis jetzt gruppentheoretisch gesehen. Dieses bildet aber auch ein Ideal und ist somit gleich (A).
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14.07.2008, 21:36	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja stimmt, das ist gar nicht schlecht. Das erleichtert auch die Suche nach einer Linearkombination weil die $\begin{eqnarray} r_i \end{eqnarray}$ 'nur' ganzzahlige Vielfache von 1 sein müssen. Danke

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