Metrik

15.07.2008, 17:14

jonny20002

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Metrik

Hallo zusammen.

Da jetzt bald die Klausur is bin ich grad am wiederholen und da fällt mir eine Stunde auf in der ich nich wahr und da ihr das hier eh immer besser erklären könnt frag ich lieber euch Gott

Gott

anstatt den prof Lehrer

Lehrer

Das erste ist :
$\begin{eqnarray*} D = \{-3;-2...2;3\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M = D \times D \end{eqnarray*}$ . Betrachten sie den metrischen Raum $\begin{eqnarray*} (M,d_o) \end{eqnarray*}$ und berechnen sie folgende Menge: $\begin{eqnarray*} B_{1/2}(0) \end{eqnarray*}$ . wie rechne ich da?

und zweitens soll man zeigen das in jede Menge in jedem diskreten metrischen Raum offen ist? naja auch hier Hammer

Hammer

Edit (Dual Space): TeX

15.07.2008, 19:15

trollkotze

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$\begin{eqnarray*} B_{\frac{1}{2}}(0)=\{x \in M&| d_0(x, 0)<\frac{1}{2}\} \end{eqnarray*}$ nehm ich mal an.
Wie die Metrik $\begin{eqnarray*} d_0 \end{eqnarray*}$ definiert ist, musst du selber wissen.

15.07.2008, 19:16

Dual Space

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Vermutlich soll $\begin{eqnarray*} d_0 \end{eqnarray*}$ die diskrete Metrik sein?!

15.07.2008, 19:39

trollkotze

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Ach ja.

Hammer

Davon gibt es ja nur eine.

16.07.2008, 10:16

jonny20002

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Ja das is die diskrete. Also ist das alles :-). das is ja nicht so schwer. und der beweis? Habt ihr da auch noch ne idee

16.07.2008, 11:04

Mazze

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Eine Menge M in einem metrischen Raum (X,d) ist offen wenn für alle $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon_x > 0 \end{eqnarray*}$ existiert, so dass $\begin{eqnarray*} B_{\varepsilon_x}(x) \subset M \end{eqnarray*}$ ist. Nehme Dir also eine beliebige Menge M her , betrachte $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ und wähle Epsilon richtig. Denk dran dass
$\begin{eqnarray*} y \in B_{\varepsilon_x}(x) \Leftrightarrow d(x,y) < \varepsilon_x \end{eqnarray*}$

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16.07.2008, 11:08

Dual Space

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Mazze: Es war doch nirgends gefragt, ob $\begin{eqnarray*} B_{1/2}(0) \end{eqnarray*}$ offen ist? verwirrt

verwirrt

Man soll die Kugel lediglich berechnen. Aber das hat jonny20002 noch nicht getan.

16.07.2008, 11:23

jonny20002

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ja und berechnet man das? ich weiß ja nur das d(x,0)=0 ist wenn x=0 ansonsten ist d(x,0)=1.

16.07.2008, 11:32

Dual Space

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Schreib doch mal bitte explizit die Menge M auf. Dann sehen wir weiter.

16.07.2008, 11:43

jonny20002

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} B_{\frac{1}{2}}(0)=\{x \in M&| d_0(x, 0)<\frac{1}{2}\} \end{eqnarray*}$

das ist das doch oder nicht

16.07.2008, 11:48

Mazze

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@ Dual Space

Zitat:

zweitens soll man zeigen das in jede Menge in jedem diskreten metrischen Raum offen

Der Trick dabei ist , das es für jedes x aus M eine Kugel gibt die nur x enthält und somit Teilmenge von M ist. Das Epsilon muss nur kleiner als eine gewisse Konstante gewählt werden. Im Prinzip ist das eine triviale Folgerung aus der gegeben 1/2-Kugel um die 0.

edit

Zitat:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} B_{\frac{1}{2}}(0)=\{x \in M&| d_0(x, 0)<\frac{1}{2}\} \end{eqnarray*}$

das ist das doch oder nicht

Das ist die Bildungsvorschrift. Du sollst expliziet die Elemente die in dieser Menge vorkommen angeben. In etwa (als Beispiel) sei M die Menge aller ganzen Zahlen zwischen 1 und 10 , dann ist sie epxlizit aufgeschrieben $\begin{eqnarray*} \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \end{eqnarray*}$

16.07.2008, 12:03

jonny20002

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Ach jetzt versteh ich.
$\begin{eqnarray*} \{0\} \end{eqnarray*}$

16.07.2008, 12:33

jonny20002

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Und zu dem beweis:
wenn ich epsilon > 1 wähle wär das ja für jedes y erfüllt in der diskreten metrik oder?
Aber epsilon soll ja nur > 0 sein also wähle ich x = y und dann ist d(x,y) = 0. stimmt das?

16.07.2008, 12:50

WebFritzi

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Die Ausage, dass die Menge = {0} ist, stimmt. Der Beweis ist totaler Unfug.

16.07.2008, 13:18

Dual Space

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Zitat:

Original von Mazze
@ Dual Space

Zitat:

zweitens soll man zeigen das in jede Menge in jedem diskreten metrischen Raum offen

Sorry ... überlesen. Gott

Gott

16.07.2008, 17:36

Mazze

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Zitat:

Aber epsilon soll ja nur > 0 sein also wähle ich x = y und dann ist d(x,y) = 0. stimmt das?

Du bringst die Kausalitäten durch einander. Du wählst ein bestimmtes Epsilon, keine bestimmten x,y...

16.07.2008, 23:24

jonny20002

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hmm, also epsilon = 1? ich hab keine ahnung

17.07.2008, 11:14

Mazze

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Zitat:

hmm, also epsilon = 1? ich hab keine ahnung

Schreib es doch mal ordentlich auf. Der Beweis lößt sich alleine durchs ordentliche Aufschreiben. Du willst zeigen das jede Menge M bezüglich der diskreten Metrik offen ist. Eine Menge (in einem metrischen Raum) ist offen wenn für jedes x aus dieser Menge ein Epsilon-Ball $\begin{eqnarray*} B_\varepsilon(x) \end{eqnarray*}$ existiert, so dass dieser Epsilon-Ball eine Teilmenge von M ist. Du musst also für jede beliebige Menge M und jedes beliebige x aus dieser Menge M ein Epsilon finden so dass

$\begin{eqnarray*} B_\varepsilon(x) \subseteq M \end{eqnarray*}$ gilt. Sei X der gesammte metrische Raum, wählst Du Epsilon = 1 für beliebiges $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ so ist

$\begin{eqnarray*} B_\varepsilon(x_0) = X \end{eqnarray*}$

weil nämliche alle Punkte in X höchstens Abstand 1 zu $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , bezüglich der Diskreten Metrik haben. Und im Allgemeinen ist $\begin{eqnarray*} X \not \subset M \end{eqnarray*}$ . Wie musst Du Epsilon wählen damit

$\begin{eqnarray*} B_\varepsilon(x_0) = \{x_0\} \subset M \end{eqnarray*}$

ist? (Es hat schon einen Grund warum Du aufgefordert wurdest eine gewisse Menge expliziet aufzuschreiben...) Das ist mehr als trivial und wenn man sich die Definitionen des Epsilonballs und von Offenheit usw. anschaut fällt es einem wirklich direkt auf den Kopf...

17.07.2008, 12:09

jonny20002

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Ok. Also wenn ich epsilon < 1 wähle dann stimmts doch

17.07.2008, 15:08

Mazze

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Zitat:

Ok. Also wenn ich epsilon < 1 wähle dann stimmts doch

Absolut. Nur noch ordentlich aufschreiben...

17.07.2008, 15:23

WebFritzi

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Zitat:

Original von Mazze
expliziet

Wenn du dieses Wort schon desöfteren verwendest, dann schreib es auch richtig: explizit. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.07.2008, 15:33

jonny20002

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Gott

vielen dank euch.

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