Quantile

15.07.2008, 19:35

Meisenmann

Quantile

Hi,

gibt es eigentlich eine Formel o. Ä. zur Bestimmung eines bestimmten Quantils? Ich hab das bisher immer PI mal Daumen gemacht smile

.

Lg Meisenmann

15.07.2008, 19:46

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Bitte genauer fragen:

Quantil einer Verteilung?

Quantil einer Stichprobe?

15.07.2008, 20:16

Meisenmann

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Hi,

was ist denn der Unterschied zwischen einem Quantil einer Stichprobe und dem Quantil einer Verteilung?

Eine Stichprobe ist doch eigentlich auch eine Verteilung?

Lg Meisenmann

15.07.2008, 21:55

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Zitat:

Original von Meisenmann
Eine Stichprobe ist doch eigentlich auch eine Verteilung?

Nein - das sind zwei völlig unterschiedliche Begriffe. unglücklich

16.07.2008, 09:37

Meisenmann

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Hi,

erstmal Danke für deine Antwort, aber so das hilft mir auch nicht weiter.

Also ich versuche es mit einem Beispiel, so versteht ihr am besten was ich meine und ich kanns auch am besten verstehen.

Die Ergebnisse für eine Klausur eines Lehrgangs

1, 1, 4, 5, 4, 1, 4, 1, 3

Ich geh mal davon aus dass es keine Stichprobe ist, sondern die Grundgesamtheit. Dafür möchte ich jetzt Median, Quartile und die Quantile x1/3 und x2/3 berechnen.

Dazu sortiere ich die Menge aufsteigend. Der Median ist in dem Fall einfach zu berechnen (3). Aber der Rest ist irgendwie nicht ganz klar -> also wie ich auf die Position für die gewünschten Quantile komme?

Lg Meisenmann

16.07.2008, 09:49

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Das ist nun wieder eine Stichprobe. Du solltest mal die Grundbegriffe rekapitulieren, alles kann man nicht hier im Thread tun. unglücklich

---------------------------

Für $\begin{eqnarray*} 0<\alpha<1 \end{eqnarray*}$ wird das $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ -Quantil einer Stichprobe $\begin{eqnarray*} (x_1,\ldots,x_n) \end{eqnarray*}$ gewöhnlich so berechnet:

$\begin{eqnarray*} q_{\alpha} = \begin{cases} \frac{1}{2} \left( x_{n\alpha}^* + x_{n\alpha+1}^* \right) & \;\mbox{falls $n\alpha$ ganzzahlig}\\[2ex] x_{\lceil n\alpha \rceil}^* & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} (x_1^*,\ldots,x_n^*) \end{eqnarray*}$ die zu $\begin{eqnarray*} (x_1,\ldots,x_n) \end{eqnarray*}$ gehörende geordnete Stichprobe bezeichnet, d.h., für die $\begin{eqnarray*} x_1^* \leq x_2^* \leq \ldots \leq x_n^* \end{eqnarray*}$ gilt.

Dabei kennzeichnet $\begin{eqnarray*} \lceil x \rceil \end{eqnarray*}$ die Aufrundungsfunktion, also die kleinste ganze Zahl größer oder gleich $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

16.07.2008, 14:10

Besserwisserin

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Ich denke, Arthur hat deine Frage beantwortet, mit dem, was du wirklich wissen möchtest.

Übrigens ist für $\begin{eqnarray*} \alpha=0,5 \end{eqnarray*}$ das Quantil nichts anderes als der Median. Und da mit gerade langweilig ist, Folgendes zu deiner Stichprobe.

Die geordnete Stichprobe lautet: $\begin{eqnarray*} x^*=(1,1,1,1,3,4,4,4,5) \end{eqnarray*}$ bei einem Umfang von $\begin{eqnarray*} n=9 \end{eqnarray*}$ .

Median: $\begin{eqnarray*} \alpha=0,5 \end{eqnarray*}$ , damit ist $\begin{eqnarray*} n\alpha=4,5 \end{eqnarray*}$ oder aufgerundet $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ . Wie du schon richtig festgestellt hast, ist der Median gleich drei.

unteres Quartil: $\begin{eqnarray*} \alpha=0,25 \end{eqnarray*}$ , ohne viel zu rechnen offensichtlich gleich eins (technisch gesehen ist es das dritte Element in der geordneten Stichprobe).

oberes Quartil: Naja, was soll ich sagen, vier halt.

Für die Terzile (ich nehme an, dass du die suchst), solltest du es jetzt selber hinkriegen. Kleiner Hinweis um nicht mit der Formel abarbeiten zu müssen, der Median trennt die oberen von den unteren 50%, das untere Quartil die unteren 25% von den oberen 75% und so weiter. Das kann man im Zweifel sogar abzählen...

16.07.2008, 14:43

Meisenmann

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Hi,

nochmals vielen Dank! Aber wenn die Klasse aus 9 Schülern besteht, dann ist das doch keine Stichprobe sondern das Klausurergebnis der ganzen Klasse (Grundgesamtheit)?

Wenn $\begin{eqnarray*} n\alpha \end{eqnarray*}$ ganzahlig ist, z. B. "4" dann nehm ich den Wert der an Position 4 steht und addiere ihn mit dem Wert an Position 5 und dividiere das ganze durch zwei?

Danke und Lg Meisenmann

16.07.2008, 19:53

Besserwisserin

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Das Thema Stichprobe oder Grundgesamtheit ist mit Sicherheit diskussionswürdig. Du kannst das als Grundgesamtheit definieren, ja. Genauso gut könnte man daraus eine Stichprobe ziehen oder dies als Stichprobe einer größeren Grundgesamtheit auffassen (ganze Schule, alle Schüler etc.). Worum es Arthur m. E. nach ging war die Unterscheidung zwischen einer Häufigkeitsverteilung in der Form, wie du sie geliefert hast oder einer expliziten Verteilung (egal ob stetig oder diskret).

Ja, ist vollkommen richtig und kannst du auch leicht nachvollziehen, indem du noch einen weiteren Fünfer den Noten hinzufügst, nun sind es zehn Werte und der Median ist nicht mehr eindeutig durch ein einzelnes Element bestimmt und diesem Fall musst du dann den Mittelwert bilden. (Theoretisch hätten dies trotzdem zweimal die gleichen Werte sein können.)

Lösung also 3,5.

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