Matrix bestimmen

15.07.2008, 20:00

easyone

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Matrix bestimmen

Hallo ich habe hier ein kleines problem mit dieser aufgabe..ich hoffe ihr könnt mir helfen.

die frage lautet: bestimmen sie zur jeweils gegebenen matrix A die matrix $\begin{eqnarray*} \sqrt{A} \end{eqnarray*}$ mit der eigenschaft, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{A} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt{A} \end{eqnarray*}$ = A

die matrix ist folgende:

1/3 $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 19 & -8 & -8 \\ -8 & 19 & -8 \\ -8 & -8 & 19 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

für die eigenvektoren habe ich diese matrix berechnet:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

laut übung sollte ich jetzt auf das richtige ergebnis kommen in dem ich die Matrizen P $\begin{eqnarray*} \sqrt{A} \end{eqnarray*}$ P^T

für $\begin{eqnarray*} \sqrt{A} \end{eqnarray*}$ habe ich jeweis die einheitswerte unter eine wurzel geschrieben.

ich komme aber leider nicht auf das richtige ergebnis

15.07.2008, 20:34

therisen

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RE: Matrix bestimmen

Zitat:

Original von easyone
laut übung sollte ich jetzt auf das richtige ergebnis kommen in dem ich die Matrizen P $\begin{eqnarray*} \sqrt{A} \end{eqnarray*}$ P^T

Indem du was machst? Das ist kein deutscher Satz! Ich habe keine Lust, die Eigenvektoren selbst zu berechnen. Daher verweise ich lediglich auf http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratwurz...ng_einer_Wurzel Dort steht alles wunderbar beschrieben.

15.07.2008, 20:49

easyone

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hm wenn ich das richtig verstanden habe muss ich die eigenvektoren berechnen und mit der diagonalmatrix multiplizieren und das dann noch mit den transponierten eigenvektoren verechnen

15.07.2008, 20:57

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von easyone
für die eigenvektoren habe ich diese matrix berechnet:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das macht keinen Sinn. Diese Matrix hat etwas mit den Eigenwerten zu tun, aber noch nichts mit den Eigenvektoren. Berechne einen Eigenvektor $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ zum Eigenwert Eins und zwei Eigenvektoren $\begin{eqnarray*} v_2,v_3 \end{eqnarray*}$ zum Eigenwert Neun und schreibe sie spaltenweise in eine Matrix:

$\begin{eqnarray*} P=\begin{pmatrix} v_1 & v_2 & v_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Für diese Matrix gilt dann $\begin{eqnarray*} P^{-1}AP=D \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ die von dir genannte Diagonalmatrix ist. Aus dieser ziehst du die positiv definite Wurzel und erhältst $\begin{eqnarray*} \tilde D \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \tilde D^2=D \end{eqnarray*}$ . Dann ist

$\begin{eqnarray*} \sqrt{A}=P\tilde DP^{-1} \end{eqnarray*}$

die gesuchte Wurzel, wie man leicht nachrechnet. Wenn man sogar das Verfahren des Spektralsatzes nutzt und eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren bestimmt und diese in $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ schreibt, dann kann man natürlich überall $\begin{eqnarray*} P^{-1} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} P^t \end{eqnarray*}$ ersetzen.

15.07.2008, 21:11

easyone

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die eigenvektoren habe ich berechnet

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hierbei frage ich mich aber ob ich nicht den ausgerechneten eigenvektor wählen muss der ja die orthogonalmatrix bildet

also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

aber was ich dann genau machen muss hab ich immer noch nicht ganz verstanden..ich schreibe die vektoren in eine matrix und multipliziere sie dann mit der diagonlamatrix, und danach?

hab jetzt ein bisschen rumprobiert aber ich komm nicht auf das richtige ergebnis

15.07.2008, 21:42

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von easyone
hierbei frage ich mich aber ob ich nicht den ausgerechneten eigenvektor wählen muss der ja die orthogonalmatrix bildet

also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bevor es um das danach geht: Was meinst du damit? Ich verstehe diesen Satz irgendwie nicht.

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15.07.2008, 21:53

easyone

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in einer vorherigen aufgabe mit der selben matrix musste ich die orthogonale matrix bestimmen und dafür müssen die eigenvektoren ja orthogonal sein

also muss ich diesen orthogonalen vektor nicht nehmen?

15.07.2008, 22:13

Mathespezialschüler

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Du musst nicht, aber wenn du die Matrix vorher schon bestimmt hast, dann ist es natürlich am cleversten, die auch zu nutzen. Im Übrigen müssen die Eigenvektoren dafür nicht nur paarweise orthogonal sein, sondern auch normiert.

15.07.2008, 22:15

easyone

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ja normiert hab ich sie auch schon....nur verstehe ich immer noch nicht welche matrizen ich jetzt genau miteinander verechnen muss

15.07.2008, 22:17

Mathespezialschüler

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Tja das kann ich dir bei dem Chaos der Vektoren auch nicht sagen. Vielleicht gibst du einmal alles an: Welche Eigenvektoren hast du nun bestimmt und zu welchen Eigenwerten gehören sie? Wie sieht deine orthogonale Matrix mit diesen Eigenvektoren aus? Danach reden wir weiter.

15.07.2008, 22:27

easyone

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okay meine eigenvektoren sind:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zu eigenwert 1

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ beide jeweils zum eigenwert 9

dann habe ich die orthogonale matrix damit berechnet

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1/3 & 1/6 & -1/2 \\ 1/3 & 1/6 & 1/2 \\ 1/3 & -2/6 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ davon sind alle werte im nenner unter einer wurzel

und dann habe ich noch die diagonalmatrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

15.07.2008, 22:33

Mathespezialschüler

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Ok:

$\begin{eqnarray*} P:=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{2}{\sqrt{6}} & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Nun machst du das, was ich oben gesagt habe: Ziehst die positiv definite Wurzel aus $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} \tilde D \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \tilde D^2=D \end{eqnarray*}$ . Und dann gilt halt

$\begin{eqnarray*} \sqrt{A}=P\tilde DP^t \end{eqnarray*}$ .

15.07.2008, 22:37

easyone

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hm blöde frage vielleicht aber was meinst du mit positiver definiter wurzel?

15.07.2008, 22:39

Mathespezialschüler

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Naja die Wurzel einer Diagonalmatrix mit positiven Eigenwerten kannst du einfach ziehen, indem du die Wurzeln der Diagonalelemente ziehst. Das wäre die positiv definite Wurzel. Wenn man an einer Stelle anstelle von $\begin{eqnarray*} +3 \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} -3 \end{eqnarray*}$ nehmen würde, wäre diese Matrix eben nicht mehr positiv definit.

(Vielleicht solltest du ein paar Sachen wiederholen ...)

15.07.2008, 22:49

easyone

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das heisst die restlichen elemente in der matrix bleiben unberührt vom wurzelziehen...und dann muss ich einfach einfach aus dieser matrix die wurzel ziehen $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und mit P multiplizieren und schliesslich nochmal mit P transponiert verechnen?

15.07.2008, 23:10

Mathespezialschüler

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Naja du solltest genauer ausdrücken, wie du multiplizierst. Mit $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ von links und mit $\begin{eqnarray*} P^t \end{eqnarray*}$ von rechts. Das ist wichtig, da die Matrixmultiplikation bekanntermaßen nicht kommutativ ist.

16.07.2008, 11:04

easyone

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ich verstehe nicht was ich falsch mache, ich habs nochmal versucht durchzurechnen aber ich komm nicht auf das richtige ergebnis...hier meine rechnung:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1/\sqrt{3} & 1/\sqrt{6} & -1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{3} & 1/\sqrt{6} & 1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{3} & -2/\sqrt{6} & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und das multipliziert mit

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \sqrt{1} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{9} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{9} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und das ergebnis dann multipliziert mit:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1/\sqrt{3} & 1/\sqrt{3} & 1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{6} & 1/\sqrt{6} & -2/\sqrt{6} \\ -1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

habe ich die wurzel der diagonalmatrix vielleicht falsch gezogen?

16.07.2008, 15:21

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von easyone
hier meine rechnung:

Dir ist schon klar, dass ich mit dem, was du da als angebliche Rechnung bezeichnest, nichts anfangen kann?! Dass du es so machen sollst, habe ich dir ja bereits gesagt. Was du falsch machst, kann ich dir nicht sagen, wenn du nur das Verfahren wiederholst - du musst schon deine Rechenergebnisse offenbaren. Ich jedenfalls bekomme beim Nachrechnen das richtige Ergebnis.

17.07.2008, 00:38

easyone

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okay bekomme jetzt auch das richtige ergebnis endlich..danke für die hilfe und die gedult

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