Kommutative Ringe

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irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »
Kommutative Ringe
Hallo, ich habe wieder ein paar Fragen.

1. Gibt es kommutative Ringe ohne 1, die nullteilerfrei sind?

2. Kennt jmd Beispiele für Hauptidealringe, die keine Integritätsringe sind? (Def. Hauptidealringe sind kommutative Ringe mit 1 in denen jedes Ideal ein Hauptideal ist.)
42 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
es gibt nur einen komm. Ring ohne 1, den Nullring ({0}).

Nullteilerfreiheit ist ja, a*b = 0 und a != 0 und b != 0.
Also ist der Nullring nullteilerfrei.

2. Oft wird ein Hauptidealring als Integritätsring definiert, ansonsten, wenn die Nullteilerfreiheit nicht verlangt wird, betrachte z.B. mal den Z_4.
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die schnelle Antwort. Das zweite ist einleuchtend. Das erste überrascht mich etwas. Dann müsste man ja zeigen können, dass jeder kommutative Ring entweder 0 ist oder die enthält. Kannst du mir noch sagen wie?
trollkotze Auf diesen Beitrag antworten »

Diese erste Behauptung von 42 ist falsch.
Betrachte den Ring der geraden Zahlen, oder allgemeiner für n>1. Das ist ein kommutativer Ring ohne 1.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist kein Ring sondern nur ein Ideal

edit: Bin von der Definition eines Ringes mit 1 ausgegangen Augenzwinkern
42 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
Zitat:
Original von trollkotze
Betrachte den Ring der geraden Zahlen,

Hab gerade mal geschaut, und die Definition bei Wikipedia ist mir ehrlich gesagt neu, dass für einen Ring nicht ein neutrales Element für die Multiplikation gefordert wird.
Wir haben Ringe bisher immer mit neutralen Element für die Mult. definiert und persönlich ging ich immer davon aus, dass ein Ring mit Eins bedeutet, 1 != 0, da ja jeder Ring (nach der Def.) ein neutrales Element (die 1) für die Mult. enthält.

Tja, so lernt man dazu.


Ansonsten ergänzend zu 1:
Ist dann nicht jedes Ideal auch ein Ring? Ein Ideal ist eine abelsche Gruppe (für +), die die 0 enthält, sowie mir * assoziativ und dass das Distributivgesetzt gilt, folgt aus den Ringeigenschaften.
Außerdem ist es mit + und * abgeschlossen.
 
 
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Das würde ich schon sagen. Alle Eigenschaften außer die Abgeschlossenheit bzgl. folgen aus den Ringeigenschaften oder der Def. des Ideals. Die Abgeschlossenheit folgt aber direkt aus da ja ist.
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