Entwickeln eines Polynoms

Neue Frage »

15.05.2004, 15:46	achim2310	Auf diesen Beitrag antworten »
Entwickeln eines Polynoms Hallo, Zunächst einmal ein... Satz: Ist $\begin{align} p(x) = a_n x^n + ... + a_1 x + a_0 \end{align}$ ein Polynom vom Grad n, so gibt es zu jedem a $\begin{align} \in \end{align}$ C,R eindeuig bestimmte Zahlen: $\begin{align} b_n,..., b_1, b_0 \in \end{align}$ C,R $\begin{align} b_n \neq 0 \end{align}$ mit $\begin{align} p(x)=\Bigsum_{k=0}^n~b_k(x-a)^k \end{align}$ Diese Darstellung heißt Entwicklung des Polynoms p um den Entwicklungspunkt a. Beweis(und den checke ich so wie er da steht überhaupt nicht!!): Mit der binomischen Formel können wir die Summanden $\begin{align} b_k(x-a)^k \end{align}$ in $\begin{align} \Bigsum_{k=0}^n~b_k(x-a)^k \end{align}$ ausmultiplizieren. Ein Koeffizientenvergleich liefert dann: $\begin{align} b_k = \Bigsum_{l=k}^n~a_l $\array{l\\k}$^(l-k) \end{align}$ für k $\begin{align} \in \end{align}$ {0,1,...,n} und impliziert Existenz und Eindeutigkeit der Darstellung $\begin{align} p(x) = \Bigsum_{k=0}^n~b_k(x-a)^k \end{align}$ Ich konnte diesen Beweis überhaupt nicht nachvollziehen ! Ich weiß nicht, ob ich irgendwas einfaches einfach übersehen hab, oder ob sich hinter den Worten "Mit der bin. Formel können wir... Ein Koeffizientenvergleich liefert dann" noch eine lange Rechnung versteckt, die hier nur ausgeklammert werden soll... Wäre nett, wenn ihr mir vielleicht helfen könntet. Grüße, achim2310
15.05.2004, 16:16	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde das auch nicht "binomische Formel" sondern eher "polynomische Formel" nennen. Es ist (a+b)^n = Summe{k=0}{n} (n über k) a^{n-k} b^k Das kann man mit vollst. Ind. beweisen. Diese Formel wurde hier angewandt.
15.05.2004, 16:28	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Binom ist ein Term der Form a+b. Ein Polynom ist z.B. ein Term der Form a+b+c. Die hier verwendete Formel ist eine binomische Formel, um genau zu sein der "binomische Lehrsatz". Eine polynomische Formel wäre z.B. $\begin{align} (a+b+c)^2=2ab+2ac+2bc+a^2+b^2+c^2 \end{align}$ .
15.05.2004, 16:30	achim2310	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, ich kenne diese Formel, aber die gilt ja auch nur für (a+b)^n und nicht für (a-b)^n ...
15.05.2004, 16:31	achim2310	Auf diesen Beitrag antworten »
Also meine Antwort bezog sich gerade auf die Antwort davor... aber an meinem verständnis Problem hat sich immernoch nichts geändert...
15.05.2004, 16:47	epikur	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich sehe keinen prinzipiellen Unterschied zwischen (a+b)^n und (a-b)^n.
Anzeige

15.05.2004, 16:51	achim2310	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie drück ich denn (a-b)^n als eine Summe aus?
15.05.2004, 17:10	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Als (a+(-b))^n. Ich rechne dir obige Rechnung mal vor: Nach dem binomischen Lehrsatz ist $\begin{align} (x-a+a)^k=\sum_{j=0}^k $\array{j\\k}$ (x-a)^j a^{k-j} \end{align}$ . Schreiben wir das Polynom $\begin{align} p(x)=\sum_{k=0}^n a_k x^k \end{align}$ um zu $\begin{align} p(x)=\sum_{k=0}^n a_k (x-a+a)^k \end{align}$ und setzen obige Formel ein, so ergibt sich $\begin{align} p(x)=\sum_{k=0}^n \sum_{j=0}^k a_k $\array{j\\k}$ a^{k-j} (x-a)^j \end{align}$ $\begin{align} =\sum_{j=0}^n \left(\sum_{k=j}^n a_k $\array{j\\k}$ a^{k-j}\right) (x-a)^j \end{align}$ . Beim letzten Schritt habe ich die Summen getauscht, das (x-a)^j aus der inneren Summe ausgeklammert, die Summationsgrenzen verändert durch Entfernen und Hinzufügen von Termen die Binomialkoeffizienten vom Wert 0 enthalten.
16.05.2004, 11:55	achim2310	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, auf den letzten Schritt bin ich einfach nicht gekommen !

Neue Frage »

Antworten »

Entwickeln eines Polynoms

Verwandte Themen