Frage zu einer Aufgabe zur Basis

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20.07.2008, 13:27	pingu	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zu einer Aufgabe zur Basis Hi zusammen, Ich hab da ne Frage zu den unten angehängten Aufgaben. Aufgabe a) ist mir klar, aber bei b) wird die Dimension über den Kern der Basis berechnet, ich hätte da einfach nur die "normale" Basis betrachet,also wieviel Zeilen/Spalten voneinander abhängig/unabhängig sind. Also hab ich das richtig verstanden, dass die Dimension die Anzahl Elemente in der Basis sind? Also wenn ich so was hätte B={ (...), (...)}. Dann wäre die Dimension da 2? Und dann noch eine Frage. Wenn ich überprüfe, ob Spalte 2 von Spalte 1 und 3 abhängig ist, erhalte ich ja für alle Koeffizienten 0. Ist das ok, und Spalte 2 somit von den anderen 2 abhängig? lg pingu
20.07.2008, 13:41	marodeur	Auf diesen Beitrag antworten »
um die dimension des kerns zu bestimmen, kannst du den dimensionssatz anwenden. $\begin{eqnarray} \dim \mathbb C^3 = \dim Bild A + \dim Ker A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \dim Bild A = Rang A \end{eqnarray}$ EDIT: und die zeilen von A sind alle von der ersten abhängig. es geht nicht nur über die spalten, sondern auch die zeilen. und da ist offensichtlich die 2. gleich der 1. und die dritte ist gleich -2* der ersten zeile
20.07.2008, 15:22	pingu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, verstehe ich das richtig. Wenn ich die Dimension des Bildes zur Dimension des Kerns addiere, erhalte ich die Dimension der Matrix? Stimmt, das hab ich glaub auch iwo in meiner Formelsammlung notiert... Also muss man es so machen? Reicht es in dem Falle nicht zu überprüfen, ob die Spalten/Zeilen voneinander (un)abhängig sind? - Hm stimmt dann glaube ich auch nicht, denn dann würde ja 1 dabei rauskommen, weil alle voneinander abhängig sind, aber das wäre ja dann der Rang nicht die Dimension... lg
20.07.2008, 17:35	marodeur	Auf diesen Beitrag antworten »
doch der Rang der Matrix A ist 1, also ist die Dimension des Bildes ebenfalls 1. die dimension des Vektorraumes ist 3. ergo folgt für die dimension des Kerns 3-1=2. ps: was ist eine dimension einer Matrix?
20.07.2008, 18:01	pingu	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Dimension ist der Raum, der von einer Basis aufgespannt wird. Aber was ich nicht ganz verstehe, ist, weshalb man dann die Dimension des Kerns ausrechnet, das ist ja eigntl gar nicht die Frage der Aufgabe. Deshalb verwirrt mich das ein wenig. Oder muss man diese Info aus der Frage herausfiltern, da der Kern eine Abbildung auf 0 ist, und nach dem Eigenraum zum Eigenwert 0 gefragt ist? lg
20.07.2008, 18:14	marodeur	Auf diesen Beitrag antworten »
für den eigenwert 0 ändert sich ja nichts an der Matrix A im vergleich zu A-0*E=A. also kannst du A betrachten. ja stimmt, die dim des kerns braucht man nicht. deine formulierung kern der basis hat mich abgelenkt. aber so weißt du nun schonmal, dass der Kern die Dimension 2 hat.
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20.07.2008, 18:43	pingu	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, weshalb wir dann aber in der Musterlsg über den Kern gerechnet? Weil das steht dann folgendes: Wir berechnen nun den Eigenraum V von A zum Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ = 0. $\begin{eqnarray} V=\vec{x} =\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathbb C³ \end{eqnarray}$ \| $\begin{eqnarray} A\vec{x} =0\vec{x} = Kern(A) \end{eqnarray}$
20.07.2008, 18:52	marodeur	Auf diesen Beitrag antworten »
nun ma löst ja folgendes Gleichungssystem für die Eigenräume: $\begin{eqnarray} (A-\lambda E)\cdot \vec{x}=\vec{0} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \vec{x}\in \mathbb C^3 \end{eqnarray}$ für lambda = 0 ist es gerade der Kern der Abbildung die den Eigenraum bildet. weil ja gelten muss: $\begin{eqnarray} A\vec{x}=\lambda \vec{x} \end{eqnarray}$ in diesem fall: $\begin{eqnarray} A\vec{x}=\vec{0} \end{eqnarray}$ und die Basis des Kerns ist zugleich auch Basis des Eigenraums zum Eigenwert 0
20.07.2008, 19:11	pingu	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ok, alles klar, das wusste ich nicht, aber jetzt leuchtet es mir ein. Danke lg

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