Kongruenzen |
20.07.2008, 21:30 | Fletcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kongruenzen kann mir vielleicht jemand bei folgenden Kongruenzen etwas weiterhelfen? a)Bestimme alle ganzen Zahlen, die die gegebenen Kongruenzen gleichzeitig erfüllen: Gibt es hier eine allg. recht schnelle und einfach Vorgehensweise diese Zaheln zu finden, oder geht das nur durch probieren? b)Bestimme die Lösungen zu folgender Kongruenz: Hier habe ich folgendes gemacht: 21= 7*3 Das erfüllen alle Das erfüllt nur die 3 Es folgt also das die gegebene Kongruenz alle Vielfachen von 3 erfüllen. c)Kann das sein, dass die Kongruenz keine Lösungen besitzt? Vielen Dank, die Klausur rückt näher |
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20.07.2008, 21:37 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
zur a) Für ein solches x gilt 3|x-1, 5|x-1 und 7|x-1 Stichwort: kgV zur b) Du hast richtig erkannt, dass es reicht die Lösungen von zu bestimmen. Nun nutze mal die c) ist eigentlich fast trivial. Betrachte einfach nur die letzte Ziffer von 20x. |
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20.07.2008, 23:59 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja: http://de.wikipedia.org/wiki/Chinesischer_Restsatz Im vorliegenden Fall geht das allerdings sehr schnell: Da es jeweils derselbe Rest ist (nämlich 1), ist die Lösung sofort klar: |
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21.07.2008, 08:23 | Fletcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank für die Hilfestellungen, also ich ja bei c) meine Annahme richtig, dass sie nicht lösbar ist und die Begründung dazu lieferst du tmo! Chinesischer Restsatz ist ein sehr gutes Stichwort, den werde ich mir nochmal genauer anschauen. Aber bei der b) verstehe ich nicht worauf du hinsaus willst mit der Zerlegung von 15=5*3 ? Gruß |
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21.07.2008, 10:56 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Offensichtlich ist doch . Es gilt aber sogar die Äquivalenz. Übrig bleibt eine relativ einfache Kongruenz. |
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22.07.2008, 19:00 | Fletcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo an Alle nochmal, die letzten Beispiele habe ich jetzt alle nachvollzogen und auch verstanden. Aber jetzt habe ich noch etwas gefunden: Kann mir jemand sagen, wie ich ein x finde welches diese Kongruenzen gleichzeitig erfüllt? Ähnlich wie oben, ist der ggT(4,7,11)=1 also kann ich auch in rechnen, aber wie schaut hier die Kongruenz aus? Oben war es ja offensichtlich unter Beispiel a) aber wie schaffe ich das jetzt mit der 2, 4 und 3??? Danke für die Antworten |
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22.07.2008, 22:47 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bestimme z.b. erst ein x, dass die ersten beiden Kongruenzen erfüllt. Mit dem chinesischen Restsatz kennst du dann alle x, die die ersten beiden Kongruenzen erfüllen. Suche dann eine von diesen, die auch die dritte Kongruenz erfüllt. Zur Not kann man einfach mal ausprobieren, wenn man nach 11 Versuchen keine Lösung gefunden hat, gibt es keine. |
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23.07.2008, 06:46 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vorsicht mit solchen Aussagen: Aus der Teilerfremdheit an sich kann man noch nicht auf die Lösbarkeit der Kongruenz schließen, allenfalls aus der paarweisen Teilerfremdheit. Die Begründung sollte also eher ggT(4,7) = ggT(4,11) = ggT(7,11) = 1 lauten. Beispiel: Es ist auch ggT(6,10,15)=1, aber die Kongruenz hat keine Lösung - nicht mal, wenn man das System auf nur 2 der 3 Gleichungen reduziert. |
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23.07.2008, 08:29 | Fletcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Alles klar das wusste ich nicht, also gilt dieser Satz wirklich nur, wenn diese paarweise teilerfremd sind. Also: ist äquivalent zu Danke nochmal, jetzt müsste ich es heute hinbekommen. |
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