Integral à la Riemann berechnen

27.04.2006, 16:17

Daktari

Auf diesen Beitrag antworten »

Integral à la Riemann berechnen

Hi

gegeben sei die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in (0,1] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$

Ich soll zeigen ob sie Riemann-integrierbar ist, oder nicht.
Ich vermute sehr stark nicht, da $\begin{eqnarray*} \lim_{z \to 0} \int_{z}^{1}~\frac{1}{x}~dx =\lim_{z \to 0} [ln(1)-ln(z)] = \infty \end{eqnarray*}$ .
Nach meinem Prof. ist $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ als Wert für das Riemann-Integral nicht zugelassen.
Für den Fall der Integrierbarkeit muss gelten
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0 \exists \delta>0 \end{eqnarray*}$ so dass gilt:
$\begin{eqnarray*} max(x_{k-1},x_k)<\delta \Rightarrow \sum_{k=1}^n f(\xi_k)(x_1-x_{k-1}-R|<\epsilon \end{eqnarray*}$ ist. Wobei R für den Wert des Riemann-Integrals steht.

Ich hab mir da so was zusammenbeschissen...
Sei $\begin{eqnarray*} P=(x_1,...,x_n) \end{eqnarray*}$ eine bel. Partition mit $\begin{eqnarray*} x_1<x_2<...<x_n \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \xi_k \end{eqnarray*}$ sei ein Zwischenpunkt von $\begin{eqnarray*} [x_{k-1},x_k] \end{eqnarray*}$

Wähle $\begin{eqnarray*} x_k=\xi_k=\frac{k}{n} \end{eqnarray*}$
--> $\begin{eqnarray*} x_k-x_{k-1}=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$
Dann ist $\begin{eqnarray*} | \sum_{k=1}^n f(\xi_k)(x_k-x_{k-1})-R|=| \sum_{k=1}^n f(\xi_k)\frac{1}{n}-R|=| \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{n}{k}-R|=| \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-R| \end{eqnarray*}$

Die Summe ist endlich(kann man also ausrechnen), also ist das Riemannintegral (:= R) $\begin{eqnarray*} R=\sum_{k=1}^n k \end{eqnarray*}$

Aber dies deckt sich nicht mit meiner Vermutung da oben. Hilfe

Hilfe

27.04.2006, 16:23

Daktari

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral à la Riemann berechnen
Ich komm einfach net drauf, ob sie nun integrierbar ist oder nicht unglücklich

unglücklich

27.04.2006, 20:28

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Jede integrierbare Funktion ist notwendigerweise beschränkt. Guck dir jetzt mal deine Funktion an.

Gruß MSS

27.04.2006, 20:59

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Daktari
Ich vermute sehr stark nicht, da $\begin{eqnarray*} \lim_{z \to 0} \int_{z}^{1}~\frac{1}{x}~dx =\lim_{z \to 0} [ln(1)-ln(z)] = \infty \end{eqnarray*}$

Stimmt, daraus folgt auf alle Fälle auch die Nichtintegrierbarkeit.

Aber schau dir mal das folgende leicht veränderte Beispiel an:

$\begin{eqnarray*} \lim_{z\searrow 0} \int_{z}^{1}~\frac{1}{\sqrt{x}} ~ \mathrm{d}x = \lim_{z \to 0} [2\sqrt{1}-2\sqrt{z}] = 2 \end{eqnarray*}$

Daraus jetzt zu folgern, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ im Intervall [0,1] riemann-integrierbar ist, ist falsch. Man kann daraus nur die uneigentliche Riemannintegrierbarkeit in diesem Intervall folgern - das ist ein Unterschied!

Den wahren Grund, warum die Funktion nicht riemannintegrierbar ist, hat MSS gerade eben genannt.

27.04.2006, 21:00

Daktari

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Definitionsbereich ist nach oben beschränkt durch die 1
und nach unten durch die 0.
Der kleinste Wert des Wertebereiches ist 0, einen größten gibt es nicht, da $\begin{eqnarray*} lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty \end{eqnarray*}$

ich vermute mal, dass du mit beschränkt den Wertebereich meinst. Also ist meine Funktion demnach nicht integrierbar.

Aber zeigen soll ich das mit "geschickten Wahlen" von $\begin{eqnarray*} f(\xi_k) \ und \ x_k \end{eqnarray*}$ .
Was ist aber dann an meinem oben angeführten "Nachweis" falsch ?

27.04.2006, 21:09

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Haken an deinem Beweis oben ist, dass

Zitat:

Original von Daktari (korrigiert)
Für den Fall der Integrierbarkeit muss gelten
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0 \exists \delta>0 \end{eqnarray*}$ so dass gilt:
$\begin{eqnarray*} max(x_{k-1},x_k)<\delta \Rightarrow \left| \sum_{k=1}^n f(\xi_k)(x_k-x_{k-1}) ~ - ~ R \right|<\epsilon \end{eqnarray*}$ ist.

nicht nur für ein bestimmtes $\begin{eqnarray*} \xi_k\in[x_{k-1},x_k] \end{eqnarray*}$ , sondern für jede mögliche Wahl $\begin{eqnarray*} \xi_k\in[x_{k-1},x_k] \end{eqnarray*}$ gelten muss.

Und damit geht deine Argumentation zum Teufel, was an der Unbeschränktheit der Funktion in der Umgebung von Null liegt. Ich sage nur $\begin{eqnarray*} \xi_1\to 0 \end{eqnarray*}$ ...

Anzeige

27.04.2006, 21:11

Daktari

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann muss ich also ein $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ finden, so dass $\begin{eqnarray*} \forall \delta>0 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} max(x_{k-1},x_k)<\delta \Rightarrow \left| \sum_{k=1}^n f(\xi_k)(x_k-x_{k-1}) ~ - ~ R \right|\geq \epsilon \end{eqnarray*}$
Dazu müsste ich $\begin{eqnarray*} \xi_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ "geschickt" wählen. Aber ich habe keine Ahnung wie traurig

traurig

. Könnt ihr mir einen Tip geben?

27.04.2006, 21:12

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Arthur Dent
Ich sage nur $\begin{eqnarray*} \xi_1\to 0 \end{eqnarray*}$ ...

27.04.2006, 23:07

Daktari

Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn $\begin{eqnarray*} \xi_1->0 \end{eqnarray*}$ dann gilt: $\begin{eqnarray*} f(\xi_1)->\infty \end{eqnarray*}$
Aber wie drücke ich damit die "Nichtexistenz" des Riemann-Integrals in folgender Form aus?

$\begin{eqnarray*} | \sum_{k=1}^n f(\xi_k)(x_k-x_{k-1})-R|... \end{eqnarray*}$

27.04.2006, 23:56

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Daktari
Also wenn $\begin{eqnarray*} \xi_1->0 \end{eqnarray*}$ dann gilt: $\begin{eqnarray*} f(\xi_1)->\infty \end{eqnarray*}$

Schätze die n-te Riemann-Summe durch dieses erste Glied nach unten ab. Das sollte schon reichen, um die Unbeschränktheit zu sehen (wähle dafür einfach die erste Zwischenstelle in Abhängigkeit von n geschickt und betrachte eine spezielle Belegung).

Grüße Abakus smile

smile

28.04.2006, 00:34

Daktari

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n f(\xi_k)(x_k-x_{k-1}) \geq f(\xi_1)(x_1-x_0)=\frac{1}{\xi_1}(x_1-x_0) \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun mein $\begin{eqnarray*} \xi_1 \end{eqnarray*}$ bel. klein werden lasse, dann ist $\begin{eqnarray*} \lim_{\xi_! \to 0} \frac{1}{\xi_1}(x_1-x_0)=\infty \end{eqnarray*}$
Damit divergiert die Riemannsche Summe und somit gibts kein Riemannintegral.

Ich trau's mich irgendwie nicht die Aufgabe so meinem Tutor abzugeben Forum Kloppe

Forum Kloppe

28.04.2006, 00:49

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Idee ist richtig. Setze nur noch jeweils konkret eine bestimmte Belegung ein und gebe so eine unbeschränkte Folge von Riemann-Summen an. Ein Vorschlag könnte sein: $\begin{eqnarray*} x_0 = 0,~ \xi_1(n) := \frac{x_1}{n} \end{eqnarray*}$ .

Wenn du jetzt die Folge der Riemann-Summen betrachtest, sollte erkennbar sein, dass diese unbeschränkt ist.

Grüße Abakus smile

smile

28.04.2006, 01:06

Daktari

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Abakus
Die Idee ist richtig. Setze nur noch jeweils konkret eine bestimmte Belegung ein und gebe so eine unbeschränkte Folge von Riemann-Summen an. Ein Vorschlag könnte sein: $\begin{eqnarray*} x_0 = 0,~ \xi_1(n) := \frac{x_1}{n} \end{eqnarray*}$ .

Wenn du jetzt die Folge der Riemann-Summen betrachtest, sollte erkennbar sein, dass diese unbeschränkt ist.

Grüße Abakus smile

smile

Wenn ich nun "deine Vorschläge" übernehme, dann gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{\xi_1 \to 0} \frac{1}{\xi_1}(x_1-x_0)=\lim_{n \to \infty} \frac{n}{x_1}(x_1 - 0)=\lim_{n \to \infty} n=\infty \end{eqnarray*}$

-->Riemannsumme ist divergent

Das $\begin{eqnarray*} x_1\neq 0 \end{eqnarray*}$ ergibt sich daraus, dass schon $\begin{eqnarray*} x_0 =0 \end{eqnarray*}$

Kann man sagen, dass die $\begin{eqnarray*} x_1,...,x_n \end{eqnarray*}$ vom "Leser" beliebig zu wählen sind, dies aber am Ergebnis nichts ändert?

28.04.2006, 12:30

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Daktari
Kann man sagen, dass die $\begin{eqnarray*} x_1,...,x_n \end{eqnarray*}$ vom "Leser" beliebig zu wählen sind, dies aber am Ergebnis nichts ändert?

Das kannst du sagen, es hat aber mit deinem "Job" bei dieser Aufgabe wenig zu tun. Dein Job ist eine Riemann-Folge so anzugeben, dass die Summenfolge divergiert.

Um skeptische oder bequeme Leser zufrieden zu stellen, ist es dabei am besten, eine solche Folge explizit mit allen Details anzugeben und die Abschätzung exakt zu begründen. Ansonsten kommt dein Leser nämlich noch auf die Idee, zu bezweifeln, dass es tatsächlich eine solche Folge gibt, weil sie ja nicht genau angegeben ist. In jedem Fall könnte er sagen, dass du den Job dann nur teilweise gemacht hast.

Die Angabe einer solchen Folge reicht dann aber, um den Job zu erledigen.

Grüße Abakus smile

smile

28.04.2006, 21:02

Daktari

Auf diesen Beitrag antworten »

Vorhin habe ich doch $\begin{eqnarray*} \xi_1(n) := \frac{x_1}{n} \end{eqnarray*}$ gewählt.
Darf man die Wahl des $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ überhaupt von den $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ abhängig machen? Denn es muss doch gelten : $\begin{eqnarray*} \xi_k \in[x_{k-1},x_k] \end{eqnarray*}$
Wie soll ich da meine Folge der $\begin{eqnarray*} (x_i)_{i\in[1,...,n]} \end{eqnarray*}$ wählen?
$\begin{eqnarray*} x_k=n*\xi_k \end{eqnarray*}$ müsste schon aus dem Grund nicht gehen, da $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x_k-x_{k-1}=\infty \end{eqnarray*}$

ich raff's nicht Forum Kloppe

Forum Kloppe

28.04.2006, 22:00

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Abakus
Dein Job ist eine Riemann-Folge so anzugeben, dass die Summenfolge divergiert.

Genau das. Und genauer noch: $\begin{eqnarray*} \xi_2,\ldots,\xi_n \end{eqnarray*}$ sind doch völlig unwichtig, wichtig ist nur $\begin{eqnarray*} \xi_1\in[x_0,x_1] \end{eqnarray*}$ , weil du das in jeder Zerlegung beliebig nahe an die Polstelle $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ heranschieben kannst. D.h., die zugehörige Riemannsumme kann über alle Schranken groß werden.

28.04.2006, 22:27

Daktari

Auf diesen Beitrag antworten »

darf man demnach $\begin{eqnarray*} x_k=n*\xi_k \end{eqnarray*}$ wählen, für $\begin{eqnarray*} k\in \ {\mathbb N}\ : \ k\geq 2 \end{eqnarray*}$

28.04.2006, 22:35

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast wirklich ein seltenes Talent, dich auf Nebenkriegsschauplätzen zu verzetteln. Nochmal: Es ist völlig wurst, was mit $\begin{eqnarray*} x_2,\ldots,x_n \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \xi_2,\ldots,\xi_n \end{eqnarray*}$ ist. Es muss aber wenigstens $\begin{eqnarray*} 0=x_0<x_1<\cdots<x_{n-1}<x_n=1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \xi_k\in[x_{k-1},x_k] \end{eqnarray*}$ gelten. Also nimm doch für dein Gegenbeispiel (also das der unbeschränkt wachsenden Riemannsumme) einfach $\begin{eqnarray*} \xi_k=x_k \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\geq 2 \end{eqnarray*}$ , fertig der Lack.

29.04.2006, 16:26

Daktari

Auf diesen Beitrag antworten »

Was wäre, wenn ich mir diese Folge so definiere

$\begin{eqnarray*} x_o := 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_1 := 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_n := x_{n-2}+x_{n-1} \end{eqnarray*}$

29.04.2006, 16:45

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Arthur Dent
... es muss aber wenigstens $\begin{eqnarray*} 0=x_0<x_1<\cdots<x_{n-1}<x_n=1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \xi_k\in[x_{k-1},x_k] \end{eqnarray*}$ gelten.

Siehe Arthurs Bemerkung, was für die $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ gelten muss.

Hier geht es um die R-Integrierbarkeit auf [0, 1], d.h. alleine dieses Intervall sollen die $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ zerlegen.

Grüße Abakus smile

smile

30.04.2006, 00:44

Daktari

Auf diesen Beitrag antworten »

waaaaaaaaaaah, ihr habt Recht.
Ich hab vor lauter "Folge definieren" den Definitionsbereich der $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ vergessen... *sich schäm*

Danke Jungs, für eure Hilfe Gott

Gott

Gott

Gott

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »