diophantische Gleichungen in Q

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olee Auf diesen Beitrag antworten »
diophantische Gleichungen in Q
Hellas,

Ich habe da son, Problem. Ich schreibe ne Arbeit über diophantische Gleichungen, und hatte in einem Vortrag neulich folgende Frage aufgeworfen (leider konnte sie keiner beantworten)

wann hat eine dioph. Gleichung (z.B. ax+by=c) keine Lösungen in rationalen Zahlen?

Ich komme bei der Frage irgendwie nicht weiter.

1. Wo finde ich da Literatur? (mal abgesehen von Poincaré, den ich nicht versteh)
2. Gibt es irgendwelche Berührungspunkte zur Theorie dioph. Gleichungen in Z?

Ich danke schonmal für Anregungen

Olee
42 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: diophantische Gleichungen in Q
Hi,
Zitat:
Original von olee
wann hat eine dioph. Gleichung (z.B. ax+by=c) keine Lösungen in rationalen Zahlen?

In den rationalen Zahlen hat es immer eine Lösung.

Setze x = 0, y = b^-1*c

Dann hast du a*0 + b*b^-1*c = 0 + 1*c = c
kiste Auf diesen Beitrag antworten »
RE: diophantische Gleichungen in Q
Zitat:
Original von 42
Hi,
Zitat:
Original von olee
wann hat eine dioph. Gleichung (z.B. ax+by=c) keine Lösungen in rationalen Zahlen?

In den rationalen Zahlen hat es immer eine Lösung.

a=b=0,c=1
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von olee
wann hat eine dioph. Gleichung (z.B. ax+by=c) keine Lösungen in rationalen Zahlen?

Ganz schlechtes Beispiel - denn diese Gleichung hat außer im Trivialfall immer rationale Lösungen, sofern rational sind - das ist doch banal.

Ansonsten kann man meist über usw. solche Gleichungen dann auf (andere) diophantische Gleichungen zurückführen. Ob es dafür eine eigene "Theorie" gibt, vermag ich nicht zu sagen - ist wohl meist gar nicht nötig.


EDIT: Oho, da war ich aber langsam. Big Laugh
olee Auf diesen Beitrag antworten »

thanks erstmal für die Bemühungen.
Und jaa das Beispiel ist doof, es ist einfach die einfachste diophantische Gleichung die mir in dem Moment in den Sinn kam. (abgesehen von x^2+y^2=z^2)

Ich habe schon bemerkt, dass es unendlich viele Lösungen gibt. Die von euch vorgeschlagenen Lösungen sind trivial. Vor allem die Lösung a=b=0, c=1 ist durch die brutale Falschaussage keine Gleichung. 0x+0y=1 hat sogar in R keine Lösung.


Diophant selbst schreibt:

"Eine unbestimmte Gleichung hat entweder keine einzige, oder unendlich viele Lösungen in rationalen Zahlen. Im letzten Fall lassen sich alle Lösungen als Funktionen eines Parameters darstellen."

Womit er exakt eine Aussage über die Lösungsmenge einer solchen Gleichung in Z formuliert, die sich durch eine spezielle Lösung, einer geeigneten ganzen Zahl t und dem ggT der Koeffizienten gewinnen lassen.

Und in diesem Satz scheint er sich auf irgendwelche dfioph. Gleichungen zu berufen, die eben keine Lösungen in Q haben. Wie könnte so eine Gleichung aussehen?

z.B. hat x^2+Ny^2=1 für Quadratfreies N keine Lösungen in Q, hab ich neulich gelesen. Da gabs auch nen Beweis, aber irgendwie hatte ich damals nicht die Muße den zu verstehen.

Trotzdem vielen dank, ich hab schon in einigen Boards solche Fragen gestellt und so schnell wie hier hatte ich noch nie ne Antwort.

Freude
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von olee
z.B. hat x^2+Ny^2=1 für Quadratfreies N keine Lösungen in Q, hab ich neulich gelesen.

Dann lies bitte nochmal nach, denn für ist z.B. eine Lösung... Augenzwinkern
 
 
olee Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst also eine diophantische Gleichung hat in Q immer eine Lösung? Oder verstehe ich dich falsch.

Mit der Erkenntnis wäre mir schon geholfen, ich wage aber dran zu zweifeln. Da einige Mathematiker (darunter Euler Jacobi und Pionbcare) eine endliche Lösungsmenge untersucht haben. Allerdings taten sie dies zur Konstruktion einer Theorie algebraischer Kurven. Das erste Stichwort, auf das ich stieß war "Addition rationaler Punkte einer elliptischen Kurve" nun ist eine eliptische Kurve ein Kegelschnitt - also eine diophantische Gleichung.

Es kann sein, dass eine diophantische Gleichung 1. und 2. Grades immer lösbar ist in Q, eventuell treten die Probleme erst in höheren Potenzen auf. Naja, wie dem auch sei.
Ich glaube meine Arbeit würde etwas den Rahmen sprengen, wenn ich dieser Frage auf den Grund ginge.

Der oben von mir zitierte Satz ist ja eigentlich auch nur ne Aussage über die Mächtigkeit einer nichtleeren Lösungsmenge. Er sagt im prinzip:

"existiert eine Lösungsmenge, so ist diese unendlich."

Ich glaube ich lasse die Frage einfach fallen.

Danke für eure Hilfe, ich werde sie bestimmt bald wieder brauchen Big Laugh
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von olee
Du meinst also eine diophantische Gleichung hat in Q immer eine Lösung? Oder verstehe ich dich falsch.

Ja, du verstehst mich falsch: Ich meine das, was ich gesagt habe, nicht mehr und nicht weniger - also versuch nicht, mehr hineinzuinterpretieren.

Wenn ich mich mal auf den Terminus "diophantische Gleichung in Q" - der gemäß Definition der diophantischen Gleichung an sich Unsinn ist - mal trotzdem einlasse:

Die Gleichung für , also für , hat offenbar keine Lösung. Also ist deine (!) voreilige Schlussfolgerung falsch.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von olee
Diophant selbst schreibt:

"Eine unbestimmte Gleichung hat entweder keine einzige, oder unendlich viele Lösungen in rationalen Zahlen. Im letzten Fall lassen sich alle Lösungen als Funktionen eines Parameters darstellen."


Was dem armen Diophantos da alles in den Mund gelegt wird! Bis zum Beweis des Gegenteils erkläre ich dieses Zitat für falsch. Vielleicht gibt es ja Aussagen von Diophantos, die in heutiger Begrifflichkeit den obigen Sinn ergeben. Zu Diophantos' Zeiten (wann immer dieser arme Mensch nun genau gelebt haben mag) gab es aber sicher den Begriff der rationalen Zahl noch nicht, geschweige denn den der Funktion.
olee Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gebe mal einfach eine Diophant Stelle (sinngemäß):

"Es sei eine gegebene Quadratzahl in zwei Quadrate zu zerlegen. Es sei 16 darzustellen als Summe zweier Quadrate. Zunächst setze ich x^2 = x^2, damit ist der andere Summand gleich 16 - x^2, dieser Ausdruck soll also ein Quadrat sein. Ich setze ihn gleich dem Quadrat eines beliebigen Vielfachen von x, vermindert um die Wurzel aus 16. Ich setze also
16-x^2 = (2x - 4)^2 = 4x^2 - 16x +16 (2 ist hier nur ein Beispiel!)
sodann addiere ich 16x + x^2 und subtrahiere 16 auf beiden Seiten. so erhalte ich
16x = 5x^2 und damit x = 16/5
Damit lautet die Lösung: x = 256/25, y = 144/25. Beides sind Qauadratzahlen und ihre Summe ist 16"

Genau dieser Text hatte zu der Frage geführt, wann eine solche Gleichung keine Lösung in rationalen Zahlen hat. Oder ganz klar formuliert.
gibt es ein Tripel rationaler Zahlen (x,y,z) so dass

x^2+y^2=z^2

keine Lösung besitzt? Und wenn Ja, welche Beziehungen bestehen dann zwischen x,y und z?

@Arthur Dent
Der Terminus "diophantische Gleichungen in Q" macht nur deswegen keinen Sinn, weil diophantische Gleichungen eben nur in Z definiert werden. Was m.E keinen Sinn macht, da der Namensgeber sich fast ausschließlich für Lösungen in Q interessiert hat. Dennoch muss ich zugeben, dass auch ich etwas überrascht war, als ich die ersten Beispielrechnungen Diophants gesehen habe. Ich denke der Hauptgrund ist die schwere Verständlichkeit vieler diesbezüglicher Theorien. In Z ist einfach "alles klar". Solange gilt, dass ggT(a,b) ein Teiler von c ist, hat a^2+b^2=c^2 immer eine Lösung.
mathe760 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo olee,

Ist dies:

Zitat:
gibt es ein Tripel rationaler Zahlen (x,y,z) so dass x^2+y^2=z^2

keine Lösung besitzt? Und wenn Ja, welche Beziehungen bestehen dann zwischen x,y und z?


eine ernst gemeinte Frage?

es gibt doch unendlich solcher Paare, die die Gleichung nicht erfüllen z.B. (2,3,4) oder allgemein (2n,3n,4n) mit

Ich hoffe ich konnte helfen.


Bis denn mathe760 Wink
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von olee

"Es sei eine gegebene Quadratzahl in zwei Quadrate zu zerlegen. Es sei 16 darzustellen als Summe zweier Quadrate.




Für Quadratzahlen versteh ich den Witz daran nicht so ganz.
olee Auf diesen Beitrag antworten »

Dange

Natürlich weiß ich,dass es in Z unendlich viele Tripel gibt, die diese Gleichung nicht erfüllen.
Vielleicht hätte ich es so Formulieren sollen:

Ist das Komplement der Lösungsmenge in Q nicht leer?
Oder ist es dem in Z isomorph?

Ich suche nach einer rel. einfachen Lösung dieser Fragen. Ich denke da z. B. an Gruppentheorie. Immerhin sind Q und Z bezüglich Multiplikation Abel'sche Gruppen, wenn man die 0 weg lässt.

Zu System-Agents Lösung muss ich leider sagen: Es ist keine! Oder kannst du dir ein rechtwinkliges Dreieck vorstellen, in dem eine Seitenlänge gleich null ist? Abgesehen davon fragt man im Bezug auf diese Gleichung nach nichttrivialen Lösungen, bei denen kein Wert 0 ist. Es geht um positive rationale Lösungen.

Alle Vielfachen von (a, b, c) sind keine Lösungen, wenn dieses Tripel keine ist, aber wie ist es möglich, diese Tatsache zu einer allgemeineren Theorie zu erweitern, die für alle rationalen Zahlen zutrifft?

vlt. erkundige ich mich mal bei meiner Fachschaft (haha)


DER GENITIV IST DEM DATIV SEIN TOD!
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von olee
Immerhin sind Q und Z bezüglich Multiplikation Abel'sche Gruppen, wenn man die 0 weg lässt.


Was ist denn das multiplikativ Inverse von 2 in Z?
olee Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Beispiel 1/2! oder 2/4 oder was immer in dieser Äquivalenzklasse noch so liegt.

Für alle x aus R ist das multiplikativ Inverse 1/x.

Ich hatte auch ne Idee für meine Frage:

x^2 + y^2 = z^2 ist genau dann nicht lösbar wenn das aus ihnen bestehende Dreieck (mit Seitenlängen x, y, z) keinen rechten Winkel besitzt.
Denn dann wäre z^2 = x^2 + y^2 - cos r (das r steht für den Winkel gegenüber z)

Vorausgesetzt es gibt kein y' in Q, sodass y'^2 = (y^2 - cos r). Dann ist natürlich (x,y') eine Lösung.

Eine Ausnahme gibt es allerdings. Das gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck, bei dem wegen x = y folgt, dass z als Faktor die Quadratwurzel aus 2 enthält. Eine Irrationale Zahl.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von olee
Zitat:
Original von therisen
Was ist denn das multiplikativ Inverse von 2 in Z?

Zum Beispiel 1/2! oder 2/4 oder was immer in dieser Äquivalenzklasse noch so liegt.

Interessant, wie du in einem Handstreich die Menge der ganzen Zahlen so einfach umdefinierst... Finger1
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verschiebe das mal in die HöMa.
olee Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, ich hab gerade gesehen dass du nach dem multipl. inversen von zwei in Z fragtest.

In Z selbst gibt es das nicht. Um eine ganze Zahl zu finden, die multipliziert mit 2 zu 1 wird, muss man die Gruppe der Restklassen modulo m untersuchen. hier gibt es auch ein inverses zu 2. vorrausgesetzt m ist nicht gerade. Dann gibt es nämlich eine Lösung der Gleichung

2x +my = 1

Dann gilt 2x ist identisch 1 mod m. (wie macht man ohne LaTex ein kongruenzzeichen?)
Und du hast dein multiplikativ inverses zu 2 bezüglich m.

In Z existieren nur inverse bezüglich des Restklassenrings Z/mZ.

bezüglich der 3 ist 2 sogar zu sich selbst invers. (2*2 -3=1)

@Arthur Dent: Sorry, es lag nicht in meiner Absixcht, die ganzen und rationalen Zahlen zu vertauschen, ich hab Thiersens Frage einfach nicht gründlich genug gelesen und dadurch einfach nicht richtig verstanden.

greetz
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von olee
Gruppe der Restklassen modulo m untersuchen.

Das ist aber nur eine Gruppe bezüglich der Addition und auch der Rest dessen was du schreibst sieht mir nach sehr verwirrten Halbwissen aus.
olee Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kiste
Zitat:
Original von olee
Gruppe der Restklassen modulo m untersuchen.

Das ist aber nur eine Gruppe bezüglich der Addition und auch der Rest dessen was du schreibst sieht mir nach sehr verwirrten Halbwissen aus.


Nein! das Symbol Z/mZ bezieht sich auf die Reste modulo m und zwar ohne Vielfache von m. Und hier gibt es zu jedem Element ein Inverses, es existiert ein linksneutrales Element (die 1) und die multiplikation führt nicht aus der Menge hinaus, ist also abgeschlossen, innere Operation. Noch dazu sind alle Beteiligten ganze Zahlen, was bedeutet, dass die multiplikation hier sogar assoziativ und kommutativ ist. Z/mZ ist damit nicht nur eine Gruppe im Bezug auf die Multiplikation, sondern sogar eine abel'sche Gruppe. Ich meine für Primmoduli wäre die Gruppe sogar zyklisch.

soviel zu deinem verwirrten Halbwissen. wenn etwas eine multiplikative Gruppe ist, dann Z/mZ.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von olee
Nein! das Symbol Z/mZ bezieht sich auf die Reste modulo m und zwar ohne Vielfache von m. Und hier gibt es zu jedem Element ein Inverses, es existiert ein linksneutrales Element (die 1) und die multiplikation führt nicht aus der Menge hinaus, ist also abgeschlossen, innere Operation.

Das ist falsch - die Null besitzt kein multiplikatives Inverses.

Und falls m keine Primzahl ist, dann ist die Null auch nicht die einzige Ausnahme. unglücklich
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Damit er auch ein Beispiel hat:
Im Ring Z/4Z gilt 2*2=0 also kann es zu 2 kein Inverses geben!
olee Auf diesen Beitrag antworten »

Zum einen Teil habt ihr recht. Meine Aussage stimmt nicht für ein beliebiges modul, m muss in diesem Fall schon ne Primzahl sein. In Primzahlmodulen gibt es zu jeder Zahl die zum Modul teilerfremd ist ein Inverses, und zu Primzahlen ist jede Zahl teilerfremd, abgesehen von ihren Vielfachen.
Was diese Sache nun angeht bin ich mir wirklich sicher, denn sonst würde schon der "kleine Fermat" nicht stimmen, Wilsons Theorem könnte nicht bewiesen werden und wir wären um einige Primzahlkriterien ärmer.

@Arthur Dent
Die 0 ist die einzige Zahl die für jedes m ein Vielfaches ist, die ist also in Z/mZ gar nicht dabei. Für ungläubige: 0x = 0 für alle x aus Z => jedes x in Z teilt 0.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von olee
@Arthur Dent
Die 0 ist die einzige Zahl die für jedes m ein Vielfaches ist, die ist also in Z/mZ gar nicht dabei. Für ungläubige: 0x = 0 für alle x aus Z => jedes x in Z teilt 0.

Z/mZ umfasst alle m Restklassen modulo m, also auch die Null. Wenn du so weiter machst, muss ich dir auch noch Halbwissen vorwerfen. Augenzwinkern

Noch etwas Nachhilfe zu Z/mZ : http://de.wikipedia.org/wiki/Restklassenring
olee Auf diesen Beitrag antworten »

tja, natürlich haste Recht. Ich hatte nur nicht damit gerechnet, dass irgendjemand nicht weiß, wie sinnlos es ist im bezug auf "Reste" die 0 zu untersuchen. denn die ist genau genommen kein Rest. (siehe Grundschulmathe)

Aber wenn du dringend willst, dann versuch doch mal nen Beweis für Wilson in Z/mZ zu führen.

http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Wilson

viel spass
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Mit diesem Argumentationsstil wirst du dir hier sicher noch viele Freunde machen. Er hat übrigens einen Namen:

Chewbacca-Verteidigung

Der Verweis auf Wilson ist ein ganz typisches Beispiel dafür: Was hat denn der Satz von Wilson damit zu tun, ob 0 eine Restklasse ist? Nichts! Finger1

Es gibt einerseits den Restklassenring , und andererseits die prime Restklassengruppe - vielleicht sprichst du ja von letzterer. Genau deswegen hatte ich dir den Link mit auf den Weg gegeben, damit du endlich mal klärst, wovon du hier die ganze Zeit sprichst. Auch wenn ich ich geahnt habe, dass du möglicherweise von sprichst, so war das deiner verworrenen unlogischen Argumentation nicht klar zu entnehmen. Aber statt den Link zu lesen, kommst du hier mit deinen Chewbacca-Argumenten.

Aber mir reicht's - du wirst entschuldigen, dass ich mich ausklinke, aber das wird mir hier echt zu blöd. Wink
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von olee
Ich hatte nur nicht damit gerechnet, dass irgendjemand nicht weiß, wie sinnlos es ist im bezug auf "Reste" die 0 zu untersuchen. denn die ist genau genommen kein Rest. (siehe Grundschulmathe)

So ein Quatsch. Eine Zahl teilt eine andere "ohne Rest", genau dann wenn der Rest bei der Division Null ist.

Zitat:
http://de.wikipedia.org/wiki/Division_mit_Rest
Bei einer Division durch 3 kann der Rest die Werte 0, 1 oder 2 annehmen.
olee Auf diesen Beitrag antworten »

Ey ihr seid echt toll!!!

Ich denke zwar, dass es wieder irgendwelche Kritik regnet, trotzdem muss ich euch mal fragen welchen Wert (im NICHT-mathematischen Sinn) die Null bei Untersuchungen zu mulktiplikativen Gruppen hat.

Eine Menge, welche die Null enthält, kann keine multiplikative Gruppe sein.
1. kann es zur Null kein inverses Element geben, denn
2. jede Multiplikation mit Null ergibt Null.
Folglich wäre die Null ein zweites zu sich selbst inverses Element, welches sich jedoch nicht neutral verhält.

War wahrscheinlich ein Missverständnis, ich dachte wir sprechen momentan von multiplikativen Gruppen.

Chewbaka-Verteidigung sagte mir bisher nichts, ich bin aber auch kein TV-Junk.

@Alle:
Gott Lehrer
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Dann schauen wir uns doch mal genauer einige deiner Äußerungen an:

Zitat:
Original von olee (17.08.2008 12:22, Auszug)
In Z existieren nur inverse bezüglich des Restklassenrings Z/mZ.


Zitat:
Original von olee
Nein! das Symbol Z/mZ bezieht sich auf die Reste modulo m und zwar ohne Vielfache von m.

Es gibt noch zig weitere Stellen, wo du von redest - gemeinhin das Symbol für den Restklassenring (mit Null!). Ich finde keine einzige Stelle bei dir, wo du von der multiplikativen Gruppe redest.

Also fass dir mal gründlich an die eigene Nase und gib zu:

"Ja, ich habe die ganze Zeit gemeint, wo ich gesagt habe, und damit die Verwechslung heraufbeschworen."

Aber ich schätze mal, über diesen Schatten kannst du nicht springen - sonst hättest du es jetzt schon getan: Denn in meinem letzten Beitrag hatte ich schon deutlich auf die Möglichkeit genau dieser Verwechslung deinerseits hingewiesen.

Stattdessen schwadronierst du hier über die multiplikative Gruppe, als ob du uns über die hier belehren müsstest - eben wieder die Chewbacca-Verteidigung.
olee Auf diesen Beitrag antworten »

@Arthur Dent
Hast schon recht, dieses Missverständnis ist auf meinem Mist gewachsen. Ich bitte um Entschuldigung.
Und ja, ich meinte die ganze Zeit die "Restklassengruppe" (Z/mZ)*.

Ich finds zwar echt dreckig, würde den schwarzen Peter aber doch gerne an meinen Zahlentheorie Prof. weitergeben, der niemals auch nur ein Wort über diesen kleinen Unterschied verloren hat. Mein Fehler war wohl, mich auf eine "Fachkraft" zu verlassen.

Ich möchte euch allen, trotz gewisser Differenzen, herzlich danken. In diesem Board habe ich zwar nicht die Lösung meiner Probleme erhalten, aber jede Menge Anregungen. Meine Arbeit ist fertig, abgegeben und leider noch nicht bewertet, und ihr habt einen nicht unbedeutenden Teil dazu beigetragen. Danke.

Ich werde in Zukunft wahrscheinlich nur selten mal reinschauen, da ich meistens doch nicht wirklich weiterhelfen kann, dazu müsste ich erstmal einige Mathe-Bibeln auswendig lernen.
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