Abbildungsmatrix

27.04.2006, 20:58	FFlex	Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildungsmatrix Hi! Hock jetzt seit 3 Stunden an ner Aufgabe und komm überhaupt nicht weiter, hoffe jemand kann mir nen Tip geben?! Habe folgende Abbildungsmatrix gegeben: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 3 & 2&0 \\ -1 & 1 & 1&1 \\ 4 & 1& 0&-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Aufgabe ist, die Basen M des $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ und N des $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ so zu bestimmen, daß meine Abbildung bezogen auf diese Basen folgende Abbildungsmatrix besitzt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0&0 \\ 0 & 1 & 0&0 \\ 0 & 0& 0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Mir ist bekannt, daß sich die neue Abbildungsmatrix berechnet aus der inversen Transformiermatrix (ich nenn das mal so, keine Ahnung wie das heißt) von y* -> y, der alten Abbildungsmatrix und der Transformiermatrix x* -> x. Also: $\begin{eqnarray} B=R^{-1}AS \end{eqnarray}$ Wenn ich nun schaffe, die Transformiermatrizen zu berechnen, habe ich ja auch gleichzeitig die Basen. Hab mal probiert, $\begin{eqnarray} R^{-1} \end{eqnarray}$ als Einheitsmatrix anzunehmen um nur noch nach S auflösen zu müßen, kam aber ein Widerspruch raus. Hat jemand ein Tip, wie ich da rangehen könnte? Vielen Dank, FFlex
28.04.2006, 16:52	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsmatrix Hallo FFlex, die zur Matrix gehörende lineare Abbildung muss einen Kern der Dimension 2 haben. Den kannst du berechnen und zu einer Basis des $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ ergänzen. Jetzt brauchst du bloß noch deine beiden, ergänzten Basisvektoren mit der Abbildung abbilden und die beiden Bilder mit einem weiteren Vektor zu einer Basis des Bildraumes $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ ergänzen. Damit hast du beide Basen. Die jeweiligen Basistransformationen kannst du daraus ableiten. Grüße Abakus
28.04.2006, 22:01	FFlex	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Abakus! Erstmal danke für deine Antwort! Kern bedeutet die Menge aller x für die die Abbildung 0 wird? Falls ja, dann bekomm ich da bei der Originalmatrix als Kern $\begin{eqnarray} x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}-x_{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{2}=beliebig \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{3}=beliebig \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{4}=-\frac{5}{2}x_{2}-2x_{3} \end{eqnarray}$ raus. Meinst du mit Dimension 2 die 2 Freiheitsgrade? Wie ergänz ich das jetzt zu ner $\begin{eqnarray} \mathbb R^{4} \end{eqnarray}$ -Basis? Für die Freiheitsgrade irgendwas einsetzen und die anderen 3 Basisvektoren erraten? Danke im Voraus, FFlex
29.04.2006, 00:07	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Kern funktioniert. Jetzt wähle 2 Vektoren aus dem Kern aus (d.h. wähle für deine 2 freien Variablen feste Werte), die diesen erzeugen; dann ergänze wie vorgeschlagen (am praktischsten Einheitsvektoren dazu nehmen). Du kannst es nachrechnen: die beiden Vektoren, die den Kern erzeugen, werden natürlich auf den Nullvektor abgebildet dann. Grüße Abakus
01.05.2006, 23:24	FFlex	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaub, ich habs kapiert! Vielen Dank!

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