Gewichte Quadraturformel

22.07.2008, 15:25

Baptiste

Gewichte Quadraturformel

Hallo.
Ich bräuchte mal eine Erste Hilfe bei dieser Aufgabe

Zu einer auf [0,1] steigen Funktion f soll das Integral

$\begin{eqnarray*} \int^1_0 f(x) dx \end{eqnarray*}$

durch eine Quadraturformel der Form

$\begin{eqnarray*} a*f(1/3) + b*f(2/3) \end{eqnarray*}$ approximiert werden.
Wie müssen die Gewichte a, b gewählt werden, damit Polynome ersten Grades exakt integriert werden?

Ich habe bereits in unserem Skript nach Gewichten geschaut, eine explizite Formel für so etwas oder für den Fehler konnte ich jedoch nicht finden.
Ich hoffe aber dennoch darauf, dass ihr so freundlich seid und mir trotzdem helft
Danke

22.07.2008, 15:25

tigerbine

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RE: Gewichte Quadraturformel
Was heißt denn "exakt" integriert?

Eine andere Aufgabe als Beispiel:

Zitat:

Aufgabe

Gegeben sei das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{3}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$ und die Knoten $\begin{eqnarray*} x_1=0,~x_2=1,~x_3=3 \end{eqnarray*}$ . Bestimmen Sie dazu eine Quadraturformel mit Exaktheitsgrad 2.
Von einer Funktion $\begin{eqnarray*} f\in C^{2}([-2,2]) \end{eqnarray*}$ seien folgende Funktionswerte gegeben:

$\begin{eqnarray*} f(-2)=-3,~f(-1)=-1,~f(0)=0,~f(1)=2,~f(2)=1 \end{eqnarray*}$

Nähern Sie das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{-2}^{2}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$ mit der zusammengesetzten Keplerregel unter Verwendung aller gegebenen Funktionswerte an.
Schätzen Sie unter der Voraussetzung $\begin{eqnarray*} |f^{(4)}(x)| \leq 15,~\forall~x \in [-2,2] \end{eqnarray*}$ den Fehler ab.

Zitat:

Lösung zu a

Damit die Quadraturformel die den Exaktheitsgrad 2 hat, besitzt die Ordnung 3. Es werden also Polynome bis zum Maximalgrad 2 exakt integriert. Es muss also gelten, angepasst an die Bezeichnungen des Workshops.

$\begin{eqnarray*} 1 \cdot \omega_0 + 1\cdot \omega _1 + 1 \cdot \omega_2 = \int_{0}^{3} 1~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \cdot \omega_0 + 1\cdot \omega _1 + 3 \cdot \omega_2 = \int_{0}^{3} x~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \cdot \omega_0 + 1\cdot \omega _1 +9 \cdot \omega_2 = \int_{0}^{3} x^2~dx \end{eqnarray*}$

Das ergibt dann

$\begin{eqnarray*} 1 \cdot \omega_0 + 1\cdot \omega _1 + 1 \cdot \omega_2 = 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \cdot \omega_0 + 1\cdot \omega _1 + 3 \cdot \omega_2 = \frac{9}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \cdot \omega_0 + 1\cdot \omega _1 +9 \cdot \omega_2 = 9 \end{eqnarray*}$

Nun muss man mittels Gaussalgorithmus das folgende LGS lösen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&1&1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1&9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\omega_0 \\ \omega_1 \\ \omega_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ \frac{9}{2} \\ 9\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&1&1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0&6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\omega_0 \\ \omega_1 \\ \omega_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ \frac{9}{2} \\ \frac{9}{2}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \omega_2 = \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \omega_1 = \frac{9}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \omega_0=0 \end{eqnarray*}$

Somit lautet die Quadraturformel:

$\begin{eqnarray*} I_f = \frac{9}{4}\cdot f(1) + \frac{3}{4} \cdot f(3) \end{eqnarray*}$

22.07.2008, 15:41

Baptiste

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RE: Gewichte Quadraturformel

Zitat:

Original von tigerbine
Was heißt denn "exakt" integriert?

Eine Definition dazu hatten wir gar nicht, aber das heißt als Beispiel
$\begin{eqnarray*} \int^1_0 sin(x) dx = [cos(x) ] ^1_0 = cos(1) - 1 \end{eqnarray*}$

Mit deinem Beispiel würde ich es so versuchen

$\begin{eqnarray*} 1 \cdot a + 1\cdot b = 1= \int_{0}^{1} 1~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1/3 \cdot a + 2/3\cdot b = 1 \int_{0}^{1} x~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=2 \end{eqnarray*}$

Kommt das hin?

22.07.2008, 15:56

tigerbine

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RE: Gewichte Quadraturformel
Naja, das solltet ihr aber schon haben. unglücklich

Exakt heißt dass für die Quadraturformel hier für Polynome p von Maximalgrad 1 eben gilt

$\begin{eqnarray*} Q(p) = \int_{0}^{1}~(x)~dx \end{eqnarray*}$

Nun wählen wir also als f die beiden Basispolynome 1 und x des Vektorraums $\begin{eqnarray*} \Pi_1 \end{eqnarray*}$ . Diese müssen exakt integriert werden. Daher folgt der Ansatz:

$\begin{eqnarray*} 1 \cdot a + 1\cdot b = \int_{0}^{1} 1~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \cdot a + \frac{2}{3}\cdot b = \int_{0}^{1} x~dx \end{eqnarray*}$

Mit den berechneten Integralen rechts also:

$\begin{eqnarray*} 1 \cdot a + 1\cdot b = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \cdot a + \frac{2}{3}\cdot b = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Nun eben noch dieses LGS lösen. Dann erhält man:

$\begin{eqnarray*} a=b =0.5 \end{eqnarray*}$

22.07.2008, 16:03

Baptiste

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RE: Gewichte Quadraturformel

Zitat:

Original von tigerbine
Naja, das solltet ihr aber schon haben. unglücklich

Haben wir aber leider nicht. Habe das Kapitel im Skript rauf und runter gelesen

Zitat:

Original von tigerbine
Exakt heißt dass für die Quadraturformel hier für Polynome p von Maximalgrad 1 eben gilt

$\begin{eqnarray*} Q(p) = \int_{0}^{1}~(x)~dx \end{eqnarray*}$

Dann wäre das also geklärt smile

Zitat:

Original von tigerbine
Nun wählen wir also als f die beiden Basispolynome 1 und x des Vektorraums $\begin{eqnarray*} \Pi_1 \end{eqnarray*}$ . Diese müssen exakt integriert werden. Daher folgt der Ansatz:

$\begin{eqnarray*} 1 \cdot a + 1\cdot b = \int_{0}^{1} 1~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \cdot a + \frac{2}{3}\cdot b = \int_{0}^{1} x~dx \end{eqnarray*}$

Mit den berechneten Integralen rechts also:

$\begin{eqnarray*} 1 \cdot a + 1\cdot b = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \cdot a + \frac{2}{3}\cdot b = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Nun eben noch dieses LGS lösen. Dann erhält man:

$\begin{eqnarray*} a=b =0.5 \end{eqnarray*}$

Genauso hatte ich mir das auch gedacht. Danke für die ausführliche Lösung

tigerbine,
kopier doch mal alle deine Zitate bzw. Aufgaben mit Lösungen in ein pdf und verkauf das als Übungsbuch.

Habe mir mal deine Beiträge angeguckt, da postest du oft ähnliche Aufgaben, das freut mich wirklich sehr
Dankeschön Mit Zunge

22.07.2008, 16:55

tigerbine

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RE: Gewichte Quadraturformel
Danke. Freut mich, dass ich helfen konnte. Wink

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