Was genau ist eine Determinate und Eigenwert?

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Buschi Auf diesen Beitrag antworten »
Was genau ist eine Determinate und Eigenwert?
Hi,
vorab muss ich sagen, dass ich weiss wie und was man mit Determinaten und Eigenwerten machen kann, aber was genau sagen mir diese Werte?

ALso was sagt eine Determiante über eine Matrix aus?
Und was sagt ein Egienwert einer Matrix aus?

Eigenvektoren sind ja noch verständlich wieder, aber bei diesen beiden Sachen könnt ich nicht erklären was das ist.
FFlex Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!
Die Determinante gibt dir das Volumen des von deinen Spaltenvektoren aufgespannten Parallelotops an.
Gruß,
FFlex
Trazom Auf diesen Beitrag antworten »

Da sachste was, genau die Fragen hab ich mir am Anfang des Studiums auch gefragt und mittlerweile muss ich sagen: Ich kann immer noch nicht sagen, was das genau ist.

Wichtig ist nur, dass man weiß, wofür diese Sachen gut sind, genau deshalb existieren sie nämlich, als Mittel zum Zweck und sie sind so definiert nicht weil das irgendwo vom Himmel gefallen ist, sondern weil es Sinn macht.

Im Falle der Determinante wäre das z.B. Lösen von (kleinen) Gleichungssystemen, das Berechnen der Eigenwerte über das charakteristische Polynom. Je mehr Eigenschaften der Determinante du kennst, desto mehr wirst Du damit ausrechnen können, dafür ist sie da.

Genauso ist es mit den Eigenwerten auch. Die Eigenwertgleichung sagt ja nicht mehr aus als das ein Eigenvektor von der Matrix auf ein Vielfaches seiner selbst abgebildet wird (um das Vielfache des Eigenwertes nämlich). Auch wenn man sich da kaum was drunter vorstellen kann, ist auch das nützlich. Zum Beispiel wenn Du irgendwann mal Differentialgleichungssysteme lösen musst, tritt eine Funktion exp(A) mit A als Matrix auf. Weil damit keine Sau rechnen kann, führt man das auf ein Problem zurück, wo man nur noch Eigenwerte betrachtet.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die Eigenwertgleichung sagt ja nicht mehr aus als das ein Eigenvektor von der Matrix auf ein Vielfaches seiner selbst abgebildet wird (um das Vielfache des Eigenwertes nämlich). Auch wenn man sich da kaum was drunter vorstellen kann, ist auch das nützlich.

nanana, da nix drunter vorstellen?

Dann nimm doch mal den Anschauungsraum IR^n und darauf irgendwelche Vektorabbildungen....
Die Eigenvektoren werden dann "nicht verdreht", sondern nur gestreckt.
Noch stärker, sei ein Eigenwert 1: die dazu gehörigen Vektoren sind fix....
Das sind gerade die Fixelemente.

Das ist doch im IR^n (wegen mir auch vorerst IR^3) schon ziemlich anschaulich.
Trazom Auf diesen Beitrag antworten »

Ja haste schon recht. Aber ich hatte immer Probleme mir vorzustellen, was MAtrizen sonst mit Vektoren machen. Ob die nun drehen, zerren, biegen, schießmichtot. Darüberhinaus nützt diese Vorstellung dann bei den etwas komplizierteren Anwendungen sowieso nicht mehr, ging jedenfalls mir so.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Wie so oft, hat Wiki auch zu diesem Problem eine recht gute Anwort parat, die ich persönlich sehr interessant finde (http://de.wikipedia.org/wiki/Determinant...und_Anwendungen)

Zitat:
Historisch gesehen wurden Determinanten bereits vor den Matrizen betrachtet. Ursprünglich war eine Determinante definiert als eine Eigenschaft eines linearen Gleichungssystems. Die Determinante "determiniert", ob das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung besitzt (dies ist genau dann der Fall, wenn die Determinante ungleich Null ist). In diesem Zusammenhang wurden 2×2-Matrizen von Cardano Ende des 16. Jahrhunderts und größere von Leibniz ungefähr 100 Jahre später behandelt.


zu den Eigenwerten/-vektoren: http://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwert

Zitat:
Ein Eigenvektor einer Abbildung ist in der linearen Algebra ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dessen Richtung durch die Abbildung nicht verändert wird. Ein Eigenvektor wird also nur gestreckt und man bezeichnet den Streckungsfaktor als Eigenwert dieses Vektors.
 
 
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