Integration durch Substitution der Integrationsvariablen

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axelt Auf diesen Beitrag antworten »
Integration durch Substitution der Integrationsvariablen
Hallo,

ich habe folgendes Probleme:

ich schaue mir grad das o.g. Thema an und habe folgende Aufgabe:



Dabei soll mit hilfe der Substitution



die Stammfunktion bestimmt werden...

Wenn ich das einsetze und ausrechne komme ich irgendwann auf:



Ab da habe ich jetzt aber keine Ahnung mehr wie ich fortfahren soll... Denn die o.g. Substitution lässt sich ja nicht für t umformen, dass ich dann da einsätzen würde... Die Grenzen lassen sich so auch nicht umrechnen... Was macht man da jetzt?

Die klammer könnte man wohl noch mit der 3. binomischen formel auseinander ziehen aber irgewie bringt das ja auch nix...

Danke schonmal :-)
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration durch Substitution der Integrationsvariablen
Zitat:
Original von axelt
Dabei soll mit hilfe der Substitution



Ich wundere mich, daß man diese Substitution nehmen soll. Ich hätte es mit x = sin(t) versucht.
axelt Auf diesen Beitrag antworten »

Das geht zwar, auch mit dem resubstituieren was bei der oberen Version irgendwie nicht ging.... aber:

Wenn man das ganze lösen will muss man wissen das:

cos(arcsin(x))=wurzel(1-x^2) ist.... ich kann mir nicht vorstellen das das besonders viele leute im kopf wüssten (hab ich von meinem taschenrechner...)
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso muß man das wissen? Wenn in der Stammfunktion ein cos(t) vorkommt, dann schreibt man und kann dann das sin(t) rücksubstituieren.

Im übrigen ist "deine" Substitution gut für das Integral und man kann ohne weiteres nach t auflösen. Nebenbei ist . Augenzwinkern
axelt Auf diesen Beitrag antworten »

Argh ich hab nochmal nachgeschaut die Aufgabe war wirklich so hatte mich vertippt (also mit plus unter der Wurzel).

Ich komme aber immernoch an den o.g. Punkt



Wie würde ich ab da weitermachen? Und wie kommt man überhaupt auf diese Substitution -.-?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Dann zeig doch mal deine Rechnung und dann schauen wir weiter.
 
 
axelt Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Rechnung:
x = g(t) eingesetzt, dann muss man ja noch nach der Regel das ganze mal g'(t) rechnen.

Quasi folgt dann:



Dabei ist g(t) sinh(t)...

Jetzt kann man das Quadrat unter der Wurzel ausmultiplizieren und g'(t) mit unter die Klammer schreiben. Das wäre dann:



Das ja dann klar...Wurzel weg...Und dann komm ich durch aufleiten an den Punkt an dem ich nicht weiterkomme...Der im übrigen gerade falsch war:





Für t habe ich dann:


axelt Auf diesen Beitrag antworten »

Jedenfalls: nach resubstituierung kommt dann was völlig anderes raus als der GTR sagt...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von axelt
Jetzt kann man das Quadrat unter der Wurzel ausmultiplizieren und g'(t) mit unter die Klammer schreiben. Das wäre dann:



Hier scheint irgendwas verkehrt gelaufen zu sein. Ich würde auch nicht das g'(t) unter die Wurzel ziehen.
axelt Auf diesen Beitrag antworten »

So dann mal kleinschrittig:



Ich schau dann mal ob mir noch was anderes einfällt...

nachdem ich dann das Quadrat ausmultipliziert hab komme ich auf:




oder alternativ:


klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von axelt
So dann mal kleinschrittig:



Hier fehlt beim Faktor hiner der Wurzel das 1/2.

Dann hast du anscheinend unter der Wurzel 1/4 rausgezogen, aber falsch. Zudem würde ich den dadrin lassen und die 1. binomische Formel anwenden.
axelt Auf diesen Beitrag antworten »

Hatte ich eben nur nicht richtig abgetippt, ist aber in der Rechnung mit drin... Also das zweite sollte dann wieder richtig sein...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von axelt

Jetzt schreiben wir das mal so:



Und jetzt kannst du in der Wurzel die 1. binomische Formel anwenden.
axelt Auf diesen Beitrag antworten »



Was integriert ergibt:



Wenn ich jetzt aber t resubstituiere, kommt immernoch was völlig verkehrtes raus...
axelt Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Umformung für x war auch völlig falsch wüsste aber nicht wie sie richtig wäre...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »



Jetzt muß man noch nutzen, daß gilt:
axelt Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, es nimmt Gestalt an :-)

Damit komme ich dann auf:



Stellt sich jetzt für mich nurnoch die Frage wie ich das 0,5t da rausbekommen soll...

Nebenbei gefragt: Find ich super das Sie sich soviel Zeit nehmen anderen zu helfen :-) Haben sie Mathe studiert, sie scheinen das ja extrem drauf zu haben?
axelt Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habs noch hinbekommen und zwar:



umzuformen nach t in:



Das war aber derartig kompliziert das ich die Aufgabe für praktisch nicht lösbar halte, denn hätte ich die Lösung nicht gekannt hätte ich das niemals hinbekommen (habe eigentlich rückwärts gerechnet)...

So stimmt zumindest das Ergebnis...

Gibt's keine einfacheren Möglichkeiten solche Aufgaben zu lösen? Allein auf den Ansatz muss man irgendwie erstmal kommen...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von axelt
Gibt's keine einfacheren Möglichkeiten solche Aufgaben zu lösen? Allein auf den Ansatz muss man irgendwie erstmal kommen...

Man kann sich auch mit einer längeren Rechnung durchquälen:







Uff!
Eine Stammfunktion der beiden ersten Summanden ist .
Beim letzten Summanden steht die Ableitung vom Nenner im Zähler.
Deswegen ist da eine Stammfunktion .
smile
axelt Auf diesen Beitrag antworten »

Okay :-) Wobei das auch alles andere als unkompliziert ist.

Eine Frage noch allgemein zu diesem Aufgabentyp:

Eine andere Aufgabe lautete:

mit Hilfe der Substitution:

Habe ich auch zügig gelöst, nur da stellt sich für mich die Frage wie ich auf solche Substitutionen kommen soll. Im Buch hieß man komme darauf durch probieren und Intuition, ich kann mir aber im Leben nicht vorstellen das man intuitiv auf die o.g. Substitution kommt.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ich vermute, daß man eher vom Ergebnis her schaut, welche Substitution gepaßt hätte. Für mich wäre eher die Substitution x = sinh(t) in Frage gekommen.
axelt Auf diesen Beitrag antworten »

Ja die war sehr viel einfacher war ich auch schon drauf gekommen. Naja aber irgendwie muss man doch auch erstmal auf das Ergebnis kommen... Ich frag mich nur wie viel von sowas ich können müsste (fange jetzt Mathestudium in München an)...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, bis zu einem gewissen Level schon. Wichtiger ist eigentlich, das Prinzip zu können, als jetzt jedes Integral lösen zu können. Meistens sticht die Substitution eh ins Auge oder ist was standardmäßiges wie sin oder sinh.

Regel:
Der Student muß es können.
Der Assistent weiß, wo's steht.
Der Professor kennt einen, der weiß, wo's steht.
Augenzwinkern
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Der Assistent weiß, wo's steht.

bzw. in der modernen Variante:

... nimmt ein CAS (= Computer Algebra System). Big Laugh
axelt Auf diesen Beitrag antworten »

Wobei ich mich dabei wieder frage wie mein CAS Rechner auf das Ergebnis kommt... Probiert der lauter Substitutionen durch oder wie
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