Tschebyschev

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sunmysky Auf diesen Beitrag antworten »
Tschebyschev
Wir haben eine Klausur geschrieben und ich bin an der folgenden Aufgabe verzweifelt:

Von einem bestimmten Würfel wird behauptet, dass bei ihm die "6" mit einer Wahrscheinlichkeit von erscheint. Zur Überprüfung dieses Würfels soll die Anzahl des Auftretens der "6" bei n Würfen ermittelt werden und damit die relative Häufigkeitder "6" berechnet werden. Unter der Voraussetzung, das der Würfel tatsächlich die behauptete Eigenschaft hat, löse man folgende Aufgaben.

a) Geben Sie mittels Tschebyschev-Ungleichung eine Abschätzung füran.

b) Bestimmen Sie für c = 0,01 näherungsweise mitels Grenzwertsatz die Anzahl n der Würfe, so dass die in (a) genannte Wahrscheinlichkeit gleich 0,99 ist.


kann mir bitte,bitte jmd sagen, wie das funktioniert.Ich bekomm das nicht hin... unglücklich und ich kann nachts schon nicht mehr schlafen, weil ich die Lösung nicht hinkriege.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

A und O bei dieser Aufgabe ist, dass du dir erstmal über die Verteilung von im klaren wirst:

ist binomialverteilt - genauer: Es ist . Warum ist das so? Darüber denkst du mal genauer nach.

Damit kannst du dann Erwartungswert und Varianz bestimmen, und das dann in Tschebyscheff a) nur noch einsetzen, fertig.

Und bei b) denkst du dann an den Grenzwertsatz von Moivre-Laplace, der die approximative Berechnung der Verteilung von durch eine Normalverteilung für große rechtfertigt.
SDwarfs Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyschev
Die Tschebyschow-Ungleichung ist bei Wikipedia übrigens prima erklärt, da findest Du auch Beispielrechungen:

http://de.wikipedia.org/wiki/Tschebyschow-Ungleichung

Wenn Du immer noch nicht weiter kommst, nachdem Du das gelesen hast, schreib bitte was Du nicht verstanden hast bzw. wo Du nicht weiter kommst...

LG,
Stefan
sunmysky Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, dass muß ja binomialverteilt sein, weil das Auftreten der 6 bei n-Würfen gesucht wird, wobei diese n-Würfe unabhängig sind.

Also ist , wobei ist.
Also ist .


Der E(X) = und die . Oder???

Wenn ich das dann einsetzte, erhalte ich .

oder halt .

Ist das so weit erstmal richtig???
Wenn ja, dann steh ich wohl eher vor dem Problem diese Ungleichung zu lösen. verwirrt

@SDwarfs: Wikipedia ist ganz hilfreich,danke!!!Aber ich komm mit der Ungleichung nicht klar... traurig
SDwarfs Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich denke ich muss erstmal was grundlegendes klären. Hast Du mal den Text am Anfang bei Wikipedia gelesen? Oder nur die Formeln angeschaut?

Da steht nämlich: "In der Stochastik gibt die Tschebyschow-Ungleichung eine untere Grenze für die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Wert einer Zufallsvariable mit endlicher Varianz innerhalb eines bestimmten Bereiches um den Erwartungswert der Variable liegt. Damit ist auch eine obere Grenze für die Wahrscheinlichkeit angegeben, dass die Werte außerhalb dieses Bereiches liegen. Der Satz lässt sich auch auf Verteilungen anwenden, die weder "glockenförmig" noch symmetrisch sind und setzt Grenzen dafür, wie viele der Daten "in der Mitte" liegen und wie viele nicht." (Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Tschebyschow-Ungleichung)

1. Ok, was heißt da? Das bedeutet: Es ist völlig egal welcher Verteilung eine Zufallszahl X folgt, die Tschebyschow-Ungleichung funktioniert immer!


2. Wofür kann man die Ungleichung verwenden?
Mit der Tschebychow-Ungleichung kann man die Wahrscheinlichkeit errechnen, mit der zukünftige Ereignisse in vorgebbaren Grenzen liegen. Die Grenzen werden dabei durch die Kontante c (häufig wird auch "k" dafür eingesetzt, das ist aber das gleiche in Grün) bestimmt (dazu später).
Man kann aber auch andersherum für eine gegebene Wahrscheinlichkeit die Grenzen errechnen...
Das Intervall (also die Grenzen) nennt man auch Konfidenzintervall.

Beispiel:
Nehmen wir als Beispiel eine Blumenverkäuferin am Straßenrand. Sie will Ihren Kunden immer beste Qualität liefern und daher keine Blumen verkaufen, die sie nicht am selben Tag gepflückt hat. Sie will aber auch nur einmal am Tag morgens Blumen pflücken gehen. Zur Vereinfachung nehmen wir an, sie verkaufe nur eine Blumenart: Lilien.
Sie will ihren Gewinn optimieren, indem Sie nur so viele Blumen pflückt, wie sie wahrscheinlich am gleichen Tag verkaufen wird. Sie hat sich die Verkaufszahlen (pro Tag) der letzten Woche notiert: 10, 6, 8, 20, 21, 7, 2. Sie will eine Sicherheit von 90%, dass sie nicht zu wenige Blumen hat, erreichen.

Aus den Verkaufszahlen kann sie den Mittelwert:


und Varianz:

schätzen.
Rechnen wir gleich noch die Standardabweichung aus:
.

Sie verwendet die Tschebyschow-Ungleichung, bei der eingesetzt wurde. Damit erhält sie folgende Gleichung:



Sie will eine Sicherheit von 90% also 10% Wahrscheinlichkeit ( p = 1 - 0,9 = 0,1) dass die zukünfigen Werte mehr als vom Mittelwert abweichen, erreichen. Sie will also dass ist.

Wir können damit durch umformen errechnen:



( ist immer positiv daher entfällt die negative Lösung beim Wurzelziehen)

Nun setzen wir in die Ungleichung ein und erhalten:



Die Aussage ist nun:
Die Wahrscheinlichkeit dass ein Zukünftiger Wert mehr als vom Mittelwert abweicht, ist kleiner oder gleich 10%.

Oder andersherum: Die wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Verkauften Blumen mit einer Sicherheit von 90% zwischen und liegen wird.
Sinnvoll interpretiert, wird sie also mit 90% Sicherheit zwischen 0 und 34 Blument verkaufen.

---
Andersherum könnte ich aber auch errechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit _höchstens_ (Obergrenze) ist, dass die Blumenverkäuferin nie mehr als N Blumen verkauft:

Dazu verwenden wir die Tschebyschow-Gleichung in der folgenden Form:


Der Verkauf von N Blumen würde nun einer Abweichung vom Mittelwert von entsprechen.
Setzen wir das ein:


Die Wahrscheinlichkeit, dass sie nicht mehr als N Blumen verkauft ist also:


Wir können nun für N z.B. 3 einsetzen:


D.h. Die Wahrscheinlichkeit, dass sie nicht mehr als 3 Blumen verkauft, ist höchstens 9,34%.


Merken wir uns dazu:
Die Tschebyschow-Ungleichung kommt also vor allem dann zur Anwendung, wenn man nicht weiß, ob die Zufallsvariable z.B. Normalverteilt ist.
Natürlich geht die Berechnung mit der Tschebyschow-Ungleichung auch oft sehr viel schneller...
Der große Nachteil ist: Die Ergebnisse sind "ungenauer". Ich meine damit keine Abweichungen, sondern: Die Grenzen für zukünfigte Werte müssen sehr viel "größer" sein, wenn ich nichts über die zugrundeliegende Art der Wahrscheinlichkeitsverteilung weiß. Würde ich zum Beispiel wissen, dass die Verkäufe der Blumen einer Normalverteilung folgen, könnte ich das Konfidenzintervall viel kleiner berechnen und die selbe Sicherheit von 90% garantieren.


=>> Und nun versuch mal deine Aufgabe genauso zu lösen... Die Grundidee dahinter solltest Du ja nun verstanden haben.
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