Automorphismus auf Polynomen

24.07.2008, 16:51

kiste

Automorphismus auf Polynomen

Hallo,

ich versuche gerade folgende Aufgabe zu lösen(Bosch Algebra, Kapitel 2.3 Aufg. 5):
Sei $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ein Integritätsring und $\begin{eqnarray*} \phi : R[x] \to R[x] \end{eqnarray*}$ ein Ringhomomorphismus mit $\begin{eqnarray*} \phi_{|_R} = \mathrm{id}_R \end{eqnarray*}$ .
Zeige: $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist genau dann ein Automorphismus, wenn es ein $\begin{eqnarray*} a\in R^* \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} b\in R \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} \phi(X) = aX+b \end{eqnarray*}$

Für die Richtung $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ hab ich mir überlegt das der Grad eines Polynoms unter $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ invariant sein sollte. Da $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ surjektiv sein muss, ex. also a und b wie gefordert. Leider kann ich das noch nicht ganz begründen. Ich habe eine Zerlegung von Polynomen versucht, scheitere aber daran, dass das Polynom ja irreduzibel sein muss. Kann ich mich auf Polynome beschränken die nur aus Linearfaktoren bestehen?

Für die andere Richtung habe ich leider noch überhaupt keine Idee

24.07.2008, 18:26

therisen

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$\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ ist trivial. Bei $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ muss man eben mal alle möglichen Fälle durchgehen, die bei $\begin{eqnarray*} \phi(X) \end{eqnarray*}$ möglich sind (Unterscheide nach dem Grad) und zeige, dass nur der o.g. Fall möglich ist.

24.07.2008, 19:21

system-agent

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Wie ist eigentlich " $\begin{eqnarray*} \phi(X)=aX+b \end{eqnarray*}$ " zu verstehen?

Zunächst ist $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} R[X] \end{eqnarray*}$ definiert. Bedeutet es dann: Für $\begin{eqnarray*} f(X)\in R[X] \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \phi(f)=f(aX+b) \end{eqnarray*}$ ?
Oder wird der Wert von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ nur speziell für das Polynom $\begin{eqnarray*} f(X)=X \end{eqnarray*}$ definiert?

24.07.2008, 19:28

kiste

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Es ist $\begin{eqnarray*} X\in R[X] \end{eqnarray*}$ also sollte klar sein was $\begin{eqnarray*} \phi(X) \end{eqnarray*}$ bedeutet.
Also dein zweiter Fall, der Wert von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ an der Stelle X ist gegeben.

Was ich jetzt habe:
$\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ ist klar nach R-linearer Ausdehnung des Homomorphismus

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \phi(X) \end{eqnarray*}$ hat den Grad 0 ist wegen injektiv nicht möglich.
$\begin{eqnarray*} \phi(X) \end{eqnarray*}$ hat Grad $\begin{eqnarray*} n > 1 \end{eqnarray*}$ :
Dann muss es wegen surjektiv und anwenden der Linearität ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ geben so dass $\begin{eqnarray*} \phi(X^{n_0}) \end{eqnarray*}$ Grad 1 hat. Dies ist aber nicht möglich, denn es ist $\begin{eqnarray*} \phi(X^{n_0}) = \phi(X)^{n_0} \end{eqnarray*}$ und da $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ Integritätsbereich ist, hat dies Grad $\begin{eqnarray*} n\cdot n_0 \end{eqnarray*}$ .

Also muss $\begin{eqnarray*} \phi(X) \end{eqnarray*}$ Grad 1 haben. Es fehlt mir also noch das a invertierbar ist.

edit: Ich habe gerade auch noch gezeigt das $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ Graderhaltend ist, ansonsten siehe Argumentation von oben.
Also muss $\begin{eqnarray*} \phi(cX+d) \end{eqnarray*}$ jedes Polynom vom Grad 1 ergeben, bei geeigneter Wahl von $\begin{eqnarray*} c,d \in R \end{eqnarray*}$ .
Da aber $\begin{eqnarray*} \phi(cX+d) = c\phi(X)+d = c(aX+b)+d \end{eqnarray*}$ gilt muss a invertierbar sein

edit2: grober schnitzer entfernt Augenzwinkern

24.07.2008, 19:34

therisen

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Zitat:

Original von kiste
$\begin{eqnarray*} \phi(X)^{n_0} \end{eqnarray*}$ und hat, da $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ Integritätsbereich ist also Grad $\begin{eqnarray*} n^{n_0} \end{eqnarray*}$ .

...Grad $\begin{eqnarray*} nn_0 \end{eqnarray*}$ . Ansonsten ist alles OK Freude

24.07.2008, 19:36

kiste

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Grober Schnitzer, danke für den Anstoss Wink

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