0,999... = 1

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Jayk Auf diesen Beitrag antworten »
0,999... = 1
Es gilt: 0,999...9 = 1
Beweis: 1/3 = 0,333...3
1 = 3/3
3/3 = 1/3 * 3
3/3 = 0,333...3 * 3
3/3 = 0,999...9
=> 1 = 0,999...9

wo ist da die Logik? Eigentlich müsste doch 0,999...9 um x kleiner als 1 sein, wenn x unendlich klein ist. Also nur fast gleich, oder nicht? Bitte keine rechnerischen Beweise, wie den geposteten, ich möchte das Problem rein logisch betrachten.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Elementar ist das nach dem ... keine 9 kommt, also die Zahl wirklich nicht endet. Die reellen Zahlen sind angeordnet, d.h. wenn nicht x < y und nicht y < x gilt so muss x=y sein.
Das 1 größer ist postulierst du. Zu zeigen ist also
Wenn eine Zahl größer ist als eine andere dann existiert ein Abstand, nennen wir ihn . Nun ist aber immer näher dran als , d.h. muss 0 sein und damit die Zahlen gleich.
Es gibt einfach keine Zahl zwischen diesen beiden Zahlen deswegen müssen sie gleich sein
Jayk Auf diesen Beitrag antworten »

OK, das ist eindeutig. Vielen Dank!
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

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0,[periode]9 = 1

Gruß!
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »



So nun an die geometrische Reihe denken und fertig ist der Spaß. Augenzwinkern

Im Übrigen hätte ich dir auf dieses

Zitat:
Original von Jayk
Es gilt: 0,999...9 = 1
Beweis: 1/3 = 0,333...3
1 = 3/3
3/3 = 1/3 * 3
3/3 = 0,333...3 * 3
3/3 = 0,999...9
=> 1 = 0,999...9


keine Punkte gegeben, denn das Rote ist genau das was du beweisen solltest. Damit hast du einen typischen Ringschluß fabriziert.
Jayk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dual Space
Im Übrigen hätte ich dir auf dieses

Zitat:
Original von Jayk
Es gilt: 0,999...9 = 1
Beweis: 1/3 = 0,333...3
1 = 3/3
3/3 = 1/3 * 3
3/3 = 0,333...3 * 3
3/3 = 0,999...9
=> 1 = 0,999...9


keine Punkte gegeben, denn das Rote ist genau das was du beweisen solltest. Damit hast du einen typischen Ringschluß fabriziert.


Beschreib mal bitte genauer, was daran falsch sein soll. Dass 1/3 = 0,333...3, ist doch bekannt, oder muss ich das auch beweisen? Im Prinzip sage ich doch nur, dass 0,999...9 dasselbe wie 3/3 ist, und dass 1 dasselbe wie 3/3 ist, und dass somit 1 und 0,999...9 gleich sein müssen. Und nicht dass wir uns falsch verstehen: Das war KEINE Schulaufgabe!
 
 
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Nur nebenbei: Du schreibst immer 0,999...9 (= endlich viele Ziffern). In Wahrheit meinst Du aber doch 0,9 = 0,999... (also einen unendlichen Dezimalbruch).
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Im Prinzip sage ich doch nur, dass 0,999...9 dasselbe wie 3/3 ist, und dass 1 dasselbe wie 3/3 ist


Und genau das ist der Fehler, Du musst erst beweisen das 0.999... = 3/3 ist, denn diese Aussage ist logisch Äquivalent zu 0.999... = 1.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jayk
Dass 1/3 = 0,333...3, ist doch bekannt, oder muss ich das auch beweisen?

Auch das musst du beweisen. Sollte dieses Resultat als bekannt vorausgesetzt sein, so wäre die Aufgabe wertlos.
Jerrey Auf diesen Beitrag antworten »
Re: 0,999... = 1
Stimmt nicht. Ende der Diskussion

In den reelen zahlen existiert z.B. 1/3 nicht. Aber es lässt sich eine hyperreale zahlenebene konstruieren mit der du dann 1/3 angeben kannst.

nämlich wenn du 1-0,99999(..) als x definierst, dann ist 1/3 0,333+x/3

Und wenn du Anfänge damit nicht klar kommst, dann solltest dich mal mit nonstandart analysis beschäftigen
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »
Re: 0,999... = 1
Zitat:
Original von Jerrey
Stimmt nicht. Ende der Diskussion

In den reelen zahlen existiert z.B. 1/3 nicht.


Also ? verwirrt
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

@ Jerrey

1/3 ist schon per Definition rational und da die rationalen Zahlen eine Teilmenge der reellen Zahlen sind, ist 1/3 also reell.
Dies zu bestreiten mit Querverweisen auf Nicht-Standard-Analysis und dergleichen macht diesen Post zum größten mathematischen Müllhaufen, den ich seit langem gelesen habe.

air
AD Auf diesen Beitrag antworten »
Re: 0,999... = 1
Zitat:
Original von Jerrey
Stimmt nicht. Ende der Diskussion

Dieser Standpunkt (bzw. diese Standart Augenzwinkern ) "Basta, ich hab recht!" ist einfach nur Finger2

Typischerweise ist der gerade bei Leuten anzutreffen, die eine (nach moderner Betrachtung) "Pseudomathematik" betreiben. Der Grenzwertbegriff ist doch nun allgemein anerkannt, was soll da noch dieses Gelaber vom "unendlich kleinen, aber positiven" x=1-0,999.... Das mag zu Newtons Zeiten ein nützliches, wenn auch unsauberes Hilfskonstrukt gewesen sein, aber wir sind doch wohl 300 Jahre weiter... smile
Jerrey Auf diesen Beitrag antworten »

"Wenn eine Zahl größer ist als eine andere dann existiert ein Abstand, nennen wir ihn varepsilon. Nun ist aber 0, periode 9 immer näher dran als varepsilon, d.h. varepsilon muss 0 sein und damit die Zahlen gleich.

Es gibt einfach keine Zahl zwischen diesen beiden Zahlen deswegen müssen sie gleich sein "

Es gibt keine unendlich kleine reele Zahl, die kleiner ais die differenz. Aber das heisst nicht das man einen Zahlkörper existiert, indem eine kleinere Differenz nicht existiert. Das ist einfach so, die Logik macht es möglich. Und Basta.

Findet euch damit ab, fragt euren Prof eurer Wahl. Es ist ne andere Frage was man mit solchen Zahlen anfangen kann. Aber er wird euch sicher beständigen, dass es gar kein Problem macht, diese Zahlen zu definieren.
Und das heisst einfach, dass diese Zahlen 0,9... und 1 sind und es ändert nichts daran, dass man sie in R als gleich behandeln kann, weil es keinen Sinn in R macht sie unterscheiden (zumindest nach der Definition da oben.)

Ich verstehe euer Problem nicht.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du verstehst einfach nichts.

Wir reden hier von , einem archimedisch angeordnetem Körper. Damit sind deine ganzen Aussagen haltlos.
Jerrey Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab ausserdem gesagt, das ich mich geirrrt habe mit den nonstandarts. Die zahlen sind in R. Klar. Aber die differenz die ich mit x bezeichnet habe eben nicht. Sie ist absurd in R.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Du willst also etwas über eine reelle Zahl sagen, indem du dir eine nicht reelle Zahl suchst und darüber eine Aussage machst? Seeeeehr schön.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Also das was du jetzt im Grunde sagst, ist:
Alles was du gesagt hast, ist falsch.

Bravo. Endlich!

air
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Absurd ist genau das richtige Stichwort - viel Spaß noch hier und im anderen Thread.


@Jerrey

Du kannst eigentlich froh sein, dass so viele Leute auf dein Gesülze eingehen - ein toller Erfolg. Freude
FooBar Auf diesen Beitrag antworten »
Re: 0,999... = 1
Zitat:
Original von Jayk
Es gilt: 0,999...9 = 1

[...]

wo ist da die Logik? [...]

Frage ich mich auch. Du hast nämlich im "Thema" geschrieben "0,999...=1", und in deinem Text "0,999...9 = 1". Das sind aber zwei verschiedene Aussagen; die erste ist wahr, die zweite ist falsch.

0,999... ist sinnvollerweise als periodische Dezimalzahl zu lesen, und da gilt 0,999...=1. Dagegen kann 0,999...9 sinnvoll nur als Dezimalzahl mit einer zwar unbestimmten, aber eben doch endlichen Anzahl von Nachkommastellen gelesen werden. Und so eine Zahl ist natürlich kleiner als 1.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
Re: 0,999... = 1
Zitat:
Original von FooBar
Zitat:
Original von Jayk
Es gilt: 0,999...9 = 1

[...]

wo ist da die Logik? [...]

Frage ich mich auch. Du hast nämlich im "Thema" geschrieben "0,999...=1", und in deinem Text "0,999...9 = 1". Das sind aber zwei verschiedene Aussagen; die erste ist wahr, die zweite ist falsch.

0,999... ist sinnvollerweise als periodische Dezimalzahl zu lesen, und da gilt 0,999...=1. Dagegen kann 0,999...9 sinnvoll nur als Dezimalzahl mit einer zwar unbestimmten, aber eben doch endlichen Anzahl von Nachkommastellen gelesen werden. Und so eine Zahl ist natürlich kleiner als 1.


Das stimmt zwar,wurde aber genau hier

Zitat:
Original von Jacques
Nur nebenbei: Du schreibst immer 0,999...9 (= endlich viele Ziffern). In Wahrheit meinst Du aber doch 0,9 = 0,999... (also einen unendlichen Dezimalbruch).

schon so gesagt... Warum also hier schlafende Hunde aufwecken?... verwirrt
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Damit hier nicht dauernd schlafende Hunde geweckt werden, schließe ich den Thread an dieser Stelle und verweise auf [Artikel] 0,999... = 1?.
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