29.04.2006, 13:55 |
phi |
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Klausur für Lineare Algebra 1.
Klausur für Lineare Algebra 1. Bearbeitungszeit 2 Stunden.
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1)
Gegeben seien die Vektoren aus durch
a) Zeigen Sie, dass linear unabhängig sind.
b) Bestimmen Sie den Koordinatenvektor von bez. Der Basis von .
c) Zeigen Sie, dass es einen Endomorphismus f von gibt mit der Eigenschaft, dass , für i=1,2,3 und berechnen Sie . |
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2)
Sei K ein Körper , V ein K-Vektorraum.
Beweisen Sie das (super nützliche ! ) Unterraumkriterium. D.h. aus
i)
ii)
iii)
folgt U ist ein Unterraum von V. (D.h. alle übrigen Vektorraum-Axiome vererben sich von V auf U) |
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3)
Seien
Welche(n) Eigenvektor(en) haben A und B gemeinsam ? |
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4)
Bestimmen Sie den Kern und das Bild der durch die Matrizen A bzw B definierten linearen abbildung!
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5)
Die lineare Abbildung L sei durch die Matrix C beschrieben. a) Bestimmen sie den Kern von L, und b) zeigen sie das...
... (<>:=Erzeugnis)
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6)
a) Sei eine Gruppe mit genau n Elementen. Zeigen Sie: Für jedes
b) Es folgt eine Multiplikationstabelle für eine Gruppe G mit den Elementen e,a,b,c.
* | e | a | b | c
------------------------
e |
a |
b |
c |
Wie müssen die Leerstellen belegt werden, damit G eine kommutative Gruppe mit dem neutralen Elemetn e ist? |
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7)
Seien U, V, W Vektorräume und
f: U ---> V und g: V ---> W lineare Abbildungen.
Zeigen Sie:
Das ist isomorph zu
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8)
Sei A:= und f :=
Zeigen Sie:
a) Durch f wird eine lineare Abbildung f:R³-->R³ definiert.
b)Die Spalten von A bilden eine Basis des R³.
c) Berechnen Sie die Matrix M, die f bezüglich der Basis A beschreibt.
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9)
Was sind die inversen Matrizen von
und |
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10)
Berechnen Sie auf günstige Weise die Determinante:
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11)
Beweisen Sie , dass in jedem (nicht unbedingt kommutativen) Ring (r,+,*), mit neutralem Elementen 0 bzzg. + und 1 bzzgl.. * für beliebige x,y € R gilt:
a) 0*x=x*0=0,
b) (-x)y = -(xy) = x(-y)
c) (-1)*x = x*(-1) = -x
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12)
SeiTeilmenge von .
Beweisen Sie, dass (R,+,*) ein kommutativer Ring ist.
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13)
Beweise: ist G eine Gruppe, U enthalten in G eine Untergruppe vom Index 2 in G, so ist U schon ein Normalteiler von G. |
Viel Erfolg (beim üben) ! |
24.02.2011, 15:53 |
Gast11022013 |
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Gibts auch Lösungen zum Abgleichen? |