Körpererweiterung

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kiste Auf diesen Beitrag antworten »
Körpererweiterung
Hi,

da es hier im Algebra Bereich grad so still ist noch ein paar Aufgaben von mir Big Laugh
Wieder jeweils aus Bosch, Kapitel 3.2

Aufgabe 4
Sei eine endliche Körpererweiterung, so dass prim. Man zeige: Es existiert ein mit

Reicht hier die Angabe prim nicht aus? Sprich ist es damit nicht bereits endlich nach Definition?

Lösung
Man nehme ein beliebiges . Dann ist, da endlich, algebraisch und damit (eigentlich unnötig aber eine schönere Beschreibung des Körpers meiner Meinung nach Big Laugh ).
Es ist . Nach der Gradformel gilt also . Da eine echte Erweiterung ist und prim, gilt somit .


Aufgabe 5
Sei endl. Körpererweiterung, . Sei ein Polynom vom Grad 3, welches in eine Nullstelle hat. Man zeige: hat bereits eine Nullstelle in

Lösung
Ich nenne die Nullstelle . Das Minimalpolynom von ist nach der Gradformel entweder vom Grad 1 oder 2 da ein Teiler von . Ist es vom Grad 1 so ist bereits .
Sei also das Minimalpolynom vom Grad 2. Dann ist da annuliert. Da insbesondere nullteilerfrei ist, muss der Grad von 1 sein. Damit besitzt es eine Nullstelle in und somit besitzt auch eine Nullstelle in

Aufgabe 6
Man zeige: Eine Körpererweiterung ist genau dann algebraisch, wenn jeder Unterring mit bereits ein Körper ist.

Das ist schon etwas schwieriger Augenzwinkern .

Lösungsversuch

Man konstruiere eine aufsteigende Kette von Ringen folgendermassen:

wobei .
Die Kette wird stationär sobald es kein Element mehr gibt das in aber nicht in ist. Dann ist aber bereits ein Körper da alle algebraisch sind.

Da bin ich mir nicht so sicher da die Erweiterung ja nicht notwendigerweise endlich sein muss. Deswegen dieser Versuch der im Prinzip nur eine Umformulierung darstellt:
Setze . Dann ist , da alle Elemente in aber algebraisch sind ist dann ein Körper.


Setze für ein beliebiges Element , R als an. Dies ist nach Vorraussetzung ein Körper. Betrachte nun den Einsetzungshomomorphismus. Nach dem Homomorphiesatz ist , also maximal. Da ein HIB ist, ist wobei irreduzibel ist. Da annuliert ist, ist somit algebraisch und das Minimalpolynom.


Wäre nett wenn mal einer draufschaut,
Gruß kiste
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

4) und 5) sind richtig. 6) schaue ich mir später an (beim nächsten mal pro Aufgabe bitte einen Thread aufmachen).
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

okay ab sofort nur noch ein Thema pro Aufgabe Augenzwinkern
Wollte das Board nicht gleich mit einer Flut von Themen überlasten Big Laugh
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

zu 6) Mit bin ich einverstanden. Bei musst du nur zeigen, dass jedes aus invertierbar ist. Da kannst du ähnlich ansetzen wie bei .
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Okay neuer Versuch Augenzwinkern
Sei beliebig. Zu zeige ist das r invertierbar ist.
Betrachte dazu . Die Teilmengenbeziehung gilt da surjektiv ist(wie macht man eigentlich diese Doppelpfeil für surjektiv in LaTeX?) aber ebenfalls durch den Substitutionshomomorphismus existiert und gilt. ist ein Körper da r nach Vorraussetzung algebraisch ist. Damit ist r in K[r] invertierbar und somit auch in R.

ziemlich holprig noch, aber sollte passen oder?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kiste
Die Teilmengenbeziehung gilt da surjektiv ist(wie macht man eigentlich diese Doppelpfeil für surjektiv in LaTeX?) aber ebenfalls durch den Substitutionshomomorphismus existiert und gilt.


Das ist etwas holprig aufgeschrieben. Versuch doch mal das einfacher zu begründen (eigentlich ist es trivial).
 
 
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

ist der kleinste Teilring der r und K enthält und damit Teilmenge von R. Das der zufällig noch Körper ist tut da nichts zur Sache Forum Kloppe

Vielen Dank
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Freude
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