Integration von stochastischer Differentialgleichung mit Poisson-Prozess |
| 29.07.2008, 19:24 | Steve06 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Integration von stochastischer Differentialgleichung mit Poisson-Prozess als Laie auf dem Gebiet habe ich folgende Frage: Es gelte Wie genau integriere ich den die Differentialgleichung wobei N der Poisson-Prozess sei (nimmt Wert 0 oder 1 an). Gruß und Dank Steve |
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| 29.07.2008, 19:50 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Integration von stochastischer Differentialgleichung mit Poisson-Prozess So einfach ist das nicht zu beantworten, denn nur die wenigsten haben den Kalkühl für die stochastische Integration bzgl. eines Poisson-Prozesses parat. Schon bei der populärsten Klasse, der Integration bzgl. eines Wiener-Prozesses, gibt es verschiedene Integralbegriffe (Itô, Skochochod, Statonovich, usw.). Also wirst du uns erstmal erzählen müssen, welche Methoden dir zur Verfügung stehen. |
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| 29.07.2008, 20:31 | Steve06 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für die Antwort. Ein wenig beruhigend, dass es nicht so trivial, angesichts der Tatsache, dass ich nicht auf Anhieb darauf gekommen bin. Das Ito-Integral im Kontext von Wiener Prozessen ist mir geläufig. Es müsste doch im ersten Schritt bei Integration von 0 bis t gelten: Nur danach ist es schwierig, da L selbst wieder vorkommt. Eine rekursive Lösung ist wohl nicht möglich durch nochmaliges Einsetzen von L (?) - das Einsetzen würde offensichtlich kein Ende nehmen. Wichtig wäre mir eine möglichst geschlossene Lösung, also keine numerische. Ist das möglich? Der Hintergrund ist, dass ich einen Schritt in einem Paper nachvollziehen möchte - dort ist der Sachverhalt noch etwas komplizierter, und ich habe ihn hier vereinfacht dargestellt. In dem Paper gelangen die Autoren auf jeden Fall zu einem Ausdruck für L_t. Gruß Steve |
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| 29.07.2008, 21:23 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also wenn ich mir das trajektorienweise betrachte, macht diese Differentialgleichung nicht alzuviel Sinn: Die Trajektorien von sind ja monoton wachsend, intervallweise konstant und jede Wachstumsstelle besteht aus einem Sprung der Höhe 1 (die Intervalllängen sind dabei unabhängig exponentialverteilt). Betrachten wir nun mal so eine Sprungstelle , d.h. mit : Dann bedeutet (*) im Sinne eines Stieltjes-Integrals , also . Sieht irgendwie seltsam aus ... Wie bist du auf (*) gekommen? 
P.S.: Je nach Kalkül kann statt (**) aber auch oder stehen, mit vollkommen unterschiedlichen Konsequenzen ... verwirrend. 
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| 29.07.2008, 21:48 | Steve06 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Tatsächlich gibt es noch eine Konstante als Faktor bei (*). Aber ich poste nun mal das gesamte Problem:  http://www.show-room.org/pics/bild.gifQuelle: http://people.hbs.edu/thill/Longstaff.pdf Seite 12 bzw. 13 Vielleicht gibt euch das ja ein Indiz hinsichtlich eines geeigneten Lösungswegs. Dank noch mal an alle, die sich beteiligen. Steve |
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| 29.07.2008, 22:55 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Grml ... 
... wird "Kalkül" also doch ohne "h" geschrieben. Da hat mir mein orthografisches Talent mal wieder übel mitgespielt. 
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| 29.07.2008, 23:11 | Steve06 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn Du das Problem löst ist alles vergessen 
. |
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| 30.07.2008, 10:18 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie gesagt kenne ich den entsprechenden Integrationskalkül nicht. Wenn du uns wenigstens eine Quelle nennen könntest, wo der erklärt ist würde das schon weiter helfen. |
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| 30.07.2008, 10:28 | Steve06 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hm, ich werde mal nachschauen, ob ich was finde. "Integration einer SDE mit Poisson Prozess" sollte schon nicht soo selten sein. VIelleicht weiß ja noch ein anderer Forensianer Rat. |
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| 03.08.2008, 21:17 | Steve06 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Problem gelöst dank des Beitrags aus einem anderen Forum. Bei Interesse poste ich die Lösung (ist relativ umfangreich). |
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| 03.08.2008, 21:36 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, bitte. |
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| 03.08.2008, 22:02 | Steve06 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bitte schön, siehe Anlage. Die Lösung erfolgt weder mit Ito noch einer anderen STandardmethode; es wird einfach ein Trick genutzt. Bin auf eure Kommentare gespannt. |
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