sigma-Algebra

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gast001 Auf diesen Beitrag antworten »
sigma-Algebra
Hallo Leute, hab hier eine Aufgabe, bei der ich nicht weiterkomme.....

Also man soll zeigen, dass es keine sigma-Algebra gibt, die aus einer unendlichen, aber abzählbaren Anzahl von Elementen besteht.

Also A ist sigma-Algebra über X (f:X-->Y), falls folgende Eigenschaften gelten:
1) leere Menge liegt in A
2) für alle A` aus A: Komplement von A` liegt in A
3) für alle A`(n) aus A: Vereinigung von A`(n) liegt in A

Was eine unendliche und abzählbare Menge ist, weiß ich auch. Z.B. Menge der natürlichen Zahlen oder Menge der ganzen Zahlen.

Hab leider keine Ahnung wie ich die Aussage beweisen kann.....Helfet mir bitte traurig traurig traurig
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: sigma-Algebra
Zitat:
Original von gast001
Also man soll zeigen, dass es keine sigma-Algebra gibt, die aus einer unendlichen, aber abzählbaren Anzahl von Elementen besteht.

Bist du dir da ganz sicher, dass du genau das beweisen sollst? Irgendwie zweifle ich noch an dem Wahrheitsgehalt der Aussage. verwirrt
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Nein nein, Stefan, die Aussage ist durchaus richtig. Übrigens eine interessante Frage - ich wundere mich jetzt, warum ich noch nie auf die gestoßen bin. verwirrt

Ich würde es indirekt beweisen: Angenommen, es gibt eine abzählbar unendliche Sigma-Algebra .

Für alle betrache man nun die Mengen . Da dieser Durchschnitt höchstens abzählbar ist, gehören alle diese Menge zu , es sind also höchstens abzählbar viele. Für verschiedene gilt nach Konstruktion nun entweder oder .

Die Annahme nur endlich vieler verschiedener führt zum Widerspruch (wieso?). Wegen haben wir dann einen Widerspruch, denn ist als Potenzmenge einer abzählbaren Menge auf jeden Fall überabzählbar.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Mmm ... dein Beweis hat mich zwar überzeugt, Arthur, dadurch ergaben sich bei mir aber nun einige Fragen. Hier mal eine davon:

Sei z.B. und . Dann dachte ich bisher, dass die von erzeugte -Algebra so aussieht:



Weiter hätte ich auch behauptet, dass dieses Mengensystem abzählbar viele Elemente enthält. (Wobei dabei die leere Menge auch als abzählbar gelte.)

Wo mache ich dabei einen Fehler?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Für mich enthält dein Mengensystem genau 4 Elemente!
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Aaahhh ... da habe ich wohl die Behauptung völlig missverstanden. Ich dachte es ginge sozusagen um die Abzählbarkeit der Mengen innerhalb der Algebra. Frag mich natürlich jetzt wie ich darauf gekommen bin und hätte spätestens nach deinem Beweis den Fehler entdecken müssen. Forum Kloppe

Danke dir wiedermal! Wink
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich merke grad noch, dass die obige Bezeichnung falsch war, korrekt ist an der Stelle . Allerdings gibt es eine isomorphe Abbildung zwischen diesen beiden Mengensystemen.
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