Quotientenmenge-/abbildung/-raum

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kingskid Auf diesen Beitrag antworten »
Quotientenmenge-/abbildung/-raum
hi!
könnt ihr mir bei diesem thema weiterhelfen?
also wir ham ein haufen definitionen in der VL aufgeschrieben, aber ich weiß nicht so wirklich, wie ich mir das vorstellen soll...

fängt eigentlich schon bei Äquivalenzrelationen an:
Sei M eine Menge. R Teilmenge aus MxM heißt Äquivalenzrelation auf M, falls für alle m, n, r aus M gilt: Reflex.Symm.,Transitiv.

Was ist dieses R aus MxM? ist das die Menge aller Abbildungen von M nach M???

und M/R heißt Quotientenmenge von M bzgl R. M/R = Menge der Äquivalenklassen von M bzgl R. was muss ich mir unter dem M/R vorstellen??
und was ist ein quotientenraum?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Oh oh, und du hast Lineare Algebra 1 bestanden? Oder wiederholst du das erste Semester?

Das R ist, wie schon oben geschrieben steht, eine Teilmenge von .

Beispiel: Eine Ebene E ist eine Teilmenge des


Für den Rest siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Faktorraum oder http://en.wikipedia.org/wiki/Quotient_group


Gruß, therisen
 
 
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
R Teilmenge aus MxM heißt Äquivalenzrelation auf M, falls für alle m, n, r aus M gilt: Reflex.Symm.,Transitiv.

das hast du sehr schlampig aufgeschrieben und ich sehe hier gar nicht, was m,n,r sind und was die mit deiner Relation zu tun haben



MxM ist das Kreuzprodukt einer Menge mit sich selbst
es ist AxB={(a,b) : a in A, b in B} die Menge aller geordneten Paare; hier also MxM ist die Menge aller Paare aus Elementen aus M.

Eine Teilmenge davon ist eine Relation.
du setzt einfach x~y genau dann wenn (x,y) in der Teilmenge ist.
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

oha, dankeschön für eure erklärungen und die links ...

Ist ein Faktorraum das gleiche wie ein Quotientenraum? in dem wiki-artikel steht nämlich:" Die Menge der Äquivalenzklassen wird mit V / U bezeichnet und heißt der Faktorraum von V nach U. " ?

@LOED: tut mir leid, war bissle zu faul das alles hinzuschreiben:
m,n,r sind Elemente aus M.
1.) reflexivität: (m,m) aus R
2.) Symmetrie: (m,n) aus R, daraus folgt (n,m) aus R
3.) Transitivität: (m,n) aus R und (n,r) aus R, daraus folgt (n,r) aus R.

d.h. R ist eine Teilmenge von der Menge aller Paare von Elementen aus M für die eine bestimmte Relation zutrifft? und eine Relation ist irgendeine Zuordnung, z.B. gleicher Geburtstag oder so was im übertragenen sinne?

hab dazu mal noch ein paar bücher gewälzt, und bin auf folgendes gestoßen: " Man nennt V/U den Quotientenvektorraum von V nach U. Diese Bezeichnung entspricht der Vorstellung, dass man U aus V 'herausdividiert', weil U in V/U zur Null wird."
Könnt ihr mir bitte erklären, warum U zur Null wird???

@therisen_: ob dus glaubst oder nicht, ich hab LA I gar nicht mal so schlecht bestanden - dank so manchem mathe-forum Augenzwinkern
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
d.h. R ist eine Teilmenge von der Menge aller Paare von Elementen aus M für die eine bestimmte Relation zutrifft?

eigentlich ist R die Relation selbst.....

wie schon gesagt, du hast eine Menge M und definierst x~y, wenn da irgendwas zutrifft (wegen mir, wenn M eine Menschenmenge, dann könnte x~y bedeuten, dass x und y am gleichen Tag Geburtstag haben).
Wenn x~y, dann ist das Paar (x,y) drin.

Als Beispiel:
sei M={1,2,3}, und R eine Relation
R ist eine Teilmenge von MxM, z.B. R={(1,1),(1,2),(2,3)}
das heißt dann: 1~1, 1~2, 2~3 alle anderen Kombinationen stehen NICHT in Relation.




Ist R nun eine Äuivalentrelation ~ von M, so kann man mit M/~ die Menge aller Äquivalenzklassen betrachten.
Das nennt man dann Quotientenraum, wobei mir der Begriff neu ist.


Vom Faktorraum redet man allgemein, wenn man Vektorräume nach Unterräumen faktorisiert. Dabei entsteht wieder ein Vektorraum.
Faktorisieren nach Unterräumen braucht dabei etwas mehr Theorie, grob gesagt: wir basteln eine Äquirel, indem wir sagen:
sei V VRm, U Unterraum: x~y :<=> x-y in U, wenn sich also x und y nur um ein Element aus U unterscheiden.
Das ganze wird dann zu einem Vektorraum durch (x+U)+(y+U)=(x+y)+U
und a*(x+U)=(ax)+U

Zitat:
" Man nennt V/U den Quotientenvektorraum von V nach U. Diese Bezeichnung entspricht der Vorstellung, dass man U aus V 'herausdividiert', weil U in V/U zur Null wird."

kannst du damit vielleicht selbst erklären....
der "Nullvektor" dieses neuen Raums ist die Äquivalenzklasse des Nullvektors von V, das ist gerade U.
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

danke für deine erklärungen und das beispiel - so kann ich mir das schon eher vorstellen smile

wie spricht man "M/~" eigentlich?

bedeutet x + U , dass ich alle Elemente von U zu x addiere?

aha,... aber warum ist die Äquivalenzklasse des Nullvektors von V der Nullvektor des neuen Vektorraums ... ??

was ist eigentlich eine Äquirel, hab das noch nie gehört/gelesen ??
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
wie spricht man "M/~" eigentlich?


"M modulo ~"


Zitat:
bedeutet x + U , dass ich alle Elemente von U zu x addiere?


Sozusagen, ja. x ist beliebig aber fest (Big Laugh ), und U eben eine Menge (Unterraum).

Zitat:

was ist eigentlich eine Äquirel, hab das noch nie gehört/gelesen ??


Forum Kloppe auf Jochens Faulheit. Gemeint ist eine Äquivalenzrelation.

Zitat:
aha,... aber warum ist die Äquivalenzklasse des Nullvektors von V der Nullvektor des neuen Vektorraums ... ??


Den Satz verstehe ich nicht. Aber das Einselement von z.B. G/N ist 1N=N (multiplikativ, Komplexmultiplikation). Vgl. auch den kanonischen Epimorphismus .

EDIT: Evtl. meinst du , aber das ist doch klar, oder? Oder vielleicht ?

Gruß, therisen
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

ahso, okay danke dir...

hm mit dem letzten hab ich das gemeint was LOED geschrieben hat:
Zitat:
der "Nullvektor" dieses neuen Raums ist die Äquivalenzklasse des Nullvektors von V, das ist gerade U.


das war mir nicht ganz klar. aber hat das vielleicht was damit zu tun, dass wenn ich ein x aus U hab:
x - 0 (soll Nullvektor sein) = x ist aus U, d. h. 0~x
d.h. [x]=[0]
und damit ist [0] das Nullelement von V/U ... bzw eben diese Äquivalenzklasse und damit U - oder schmeiß ich jetzt alles durcheinander??
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

bisschen kompliziert

Du hast dann halt diese Nebenklassen (das gleiche wie Äquiv.klassen bzgl. unserer x~y, x-y in U) bzgl. des Unterraums: die sehen so aus: x+U Nebenklasse von x [x+U:={x+u mit u in U}]

Und darauf definierst du wieder Vektorraumdinge:
Addition von Vektoren: (x+U)+(y+U)=(x+y)+U
und a*(x+U)=(ax)+U
ERST DAMIT HAST DU MIT V/U WIEDER EINEN VEKTORRAUM
Axiome darfst du gerne mal nachrechnen.


dann überleg selbst, was der Nullvektor davon ist.
Das ist gerade 0+U=U
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

okay, vielen dank für die erklärungen... alles bissle complicated...
muss mir mal ein paar aufgaben dazu anschauen, vielleicht hilft das...
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Dieses ganze Konstrukt ist leider ziemlich aus dem Zusammenhang gerissen. Ich hoffe, ihr habt erst mit der Konstruktion der Faktorgruppe begonnen. Jeder Vektorraum V ist insbesondere eine abelsche Gruppe bezüglich der Addition und jede abelsche Gruppe insbeondere ein Normalteiler. Jeder Unterraum U ist wiederum eine abelsche Gruppe. Somit hast du schon mal deine abelsche Gruppe V/U und den kanonischen Epimorphismus (s.o.). Es stellt sich jetzt nur noch die Frage, wie man V/U mit einer Vektorraumstruktur so versehen kann, dass aus dem kanonischen Epimorphismus sogar ein Vektorraumepimorphismus wird. Wenn man nun erneut die drei Isomorphiesätze bewiesen hat, dann sollte der Wunsch nach einem Allgemeinerem Konzept entstehen. Dieses ist mit der universellen Algebra gegeben.


Gruß, therisen
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Jeder Vektorraum V ist insbesondere eine abelsche Gruppe bezüglich der Addition und jede abelsche Gruppe insbeondere ein Normalteiler

wolltest du das sagen? sollte hier nicht eher "jede Untergruppe einer abelschen Gruppe ist ein Normalteiler in dieser Gruppe"
In sich selbst ist jede Gruppe Normalteiler.

Und danach dann die Erkenntnis, dass der Unterraum mit + gerade Untergruppe der abelschen Gruppe (Vektorraum,+) und somit......





PS:
Was du genau mit den 3 Isomorphiesätzen willst, weiß ich nicht......
Wenn man die gezeigt hat, sollte eher erst mal der Wunsch nach einer langen Pause entstehen. smile






edit 18:40: huch, da hatte ich wohl vorhin ausversehen einen Teil weggemacht; der erste Satz stand unvollendet da, habs korrigiert
Danke für den pdf-Link, der braucht ziemlich lange
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
Zitat:
Jeder Vektorraum V ist insbesondere eine abelsche Gruppe bezüglich der Addition und jede abelsche Gruppe insbeondere ein Normalteiler

wolltest du das sagen? sollte hier nicht eher "jede Untergrup
In sich selbst ist jede Gruppe Normalteiler.

Und danach dann die Erkenntnis, dass der Unterraum mit + gerade Untergruppe der abelschen Gruppe (Vektorraum,+) und somit......


Ja, da habe ich mir ein paar Ausdrucksschwächen geleistet. Es sollte heißen, dass in einer abelschen Gruppe jede Untergruppe ein Normalteiler ist. Und dann eben der Bezug zum Vektorraum und dem Unterraum.


Zitat:

PS: Was du genau mit den 3 Isomorphiesätzen willst, weiß ich nicht......
Wenn man die gezeigt hat, sollte eher erst mal der Wunsch nach einer langen Pause entstehen. smile


Was ich meine kann man z.B. hier auf Seite 50 (im PDF Seite 66) nachlesen. Damit spart man sich den Aufwand, die Isomorphiesätze seperat erst für Gruppen, dann für Ringe und dann für Moduln zu beweisen. Aber mit der universellen Algebra habe ich mich leider noch nicht beschäftigen können, das mache ich nach dem Abitur smile


Gruß, therisen
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