Eigenvektoren einer beliebigen 2x2Matrix

05.05.2006, 15:01

zeta21

Eigenvektoren einer beliebigen 2x2Matrix

Ich muss die Eigenvektoren für folgende Matirx errechnen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so...
das charakteristische Polynom hab ich schon und auch die Eigenwerte.
Die sind:

$\begin{eqnarray*} \gamma_{1/2} = \frac{1}{2} [(a+d) \pm \sqrt{(a-d)^2 + 4bc} ] \end{eqnarray*}$

(mit gegebener Voraussetzung, dass die Diskriminante > 0 ist)

Ich bekomme einfach kein gescheites errechnetes Ergebins für die Vektoren hin, auch wenn ich das dafür vorgesehene Gelichungssystem löse...

Durch raten bin ich jetzt mal auf die Lösungen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -b \\ a- \gamma_{1/2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

gestoßen, aber ob die richtig sind und wie ich durch rechnen draufkommen soll, das weiß ich zwar eigentlich, aber es klappt nicht...

Kann mir da jemand helfen?

05.05.2006, 16:55

Schumi987

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Ein Eigenvektor erfüllt folgende Gleichung:

f(v)=kv k ungleich 0

oder f als Matrix geschrieben: Av=kv

k hast du bereits ausgerechnet und kannt damit ein Gleichungssystem aufstellen

05.05.2006, 17:07

zeta21

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tja, das weiß ich leider!
wenn ich aber mein gleichungssystem aufstelle und nach $\begin{eqnarray*} x_1 bzw x_2 \end{eqnarray*}$ auflöse, dann kommt nur quatsch raus.

05.05.2006, 17:25

Marcyman

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Lös doch mal das homogene Gleichungssystem $\begin{eqnarray*} (A-\gamma_iI_2)x=0 \end{eqnarray*}$ .

05.05.2006, 17:46

zeta21

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was bedeutet denn $\begin{eqnarray*} I_2 \end{eqnarray*}$ ?
vielleicht würde mich das wirklich weiterbringen...

05.05.2006, 17:52

Abakus

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$\begin{eqnarray*} I_2 \end{eqnarray*}$ ist eine (2x2)-Einheitsmatrix.

Grüße Abakus smile

05.05.2006, 18:10

zeta21

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Ach so... Danke...
Aber genau das System hab ich doch versuch zu lösen und ich komme auf kein ergebnis, das meiner meinung nach sinnvoll sein soll:

ich nenn jetzt mal das $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ -> y, das ist einfacher:

$\begin{eqnarray*} (a-y_1)x_1 + bx_2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cx_1 + (d-y_1)x_2 = 0 \end{eqnarray*}$

-> nach $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ aufgelöst ergibt das ja

$\begin{eqnarray*} x_2=\frac{a-y_1}{-b} \cdot x_1 \end{eqnarray*}$ und das dann eingesetzt bei mir

$\begin{eqnarray*} -cx_1 + \frac{(d-y_1)(a-y_1)}{-b} \cdot x_1 \end{eqnarray*}$

dann kann man ja $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ausklammern und es kommt nun mal für $\begin{eqnarray*} x_1 = 0 \end{eqnarray*}$ raus... und dann ja auch für $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ...
und das ist meiner meinung nach keine sinnvolle lösung...

traurig

05.05.2006, 18:35

Abakus

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Also mal generell, was erwartest du für ein Ergebnis? Rauskommen sollten ja ggf. bei 2 verschiedenen Eigenwerten auch 2 Eigenvektoren. Mit einem Eigenvektor ist jedes Vielfache davon auch Eigenvektor.

D.h. deine Lösungsmenge zu dem Gleichungssystem sollte (bei 2 verschiedenen EW) jeweils eindimensional sein, was bedeutet, dass du in dem Gleichungssystem eine Variable als Parameter wählen kannst. Einen konkreten Eigenvektor erhälst du, wenn du für den Parameter einen Wert einsetzt.

Die Bedingungen, wann es reelle Eigenwerte gibt und wann die verschieden sind usw., musst du noch genau in deine Lösung einbringen.

Grüße Abakus smile

EDIT: Text

05.05.2006, 18:45

zeta21

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RE: Eigenvektoren einer beliebigen 2x2Matrix

Zitat:

Original von zeta21

Durch raten bin ich jetzt mal auf die Lösungen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -b \\ a- \gamma_{1/2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das erwarte ich... ich hab auch diese lösung jetzt noch in so nem schlauen buch entdeckt, was meine vermutung unterstützt...

Lg

zeta

05.05.2006, 19:01

Abakus

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RE: Eigenvektoren einer beliebigen 2x2Matrix

Zitat:

Original von zeta21
Durch raten bin ich jetzt mal auf die Lösungen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -b \\ a- \gamma_{1/2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist ja auch korrekt. Du brauchst bloß $\begin{eqnarray*} x_1 := -b \end{eqnarray*}$ zu setzen, um mit deinem LGS auf diesen EV zu kommen. Natürlich ist auch jedes Vielfache davon ein EV.

Grüße Abakus smile

EDIT: Schreibfehler

05.05.2006, 19:19

zeta21

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hmm... du hast recht... smile

ich weiß nur nicht, ob ich das nicht auch ausrechnen müssen könnte...

05.05.2006, 21:14

Abakus

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Das kannst du auch ausrechnen. Du brauchst zB bloß $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ irgendwie wählen (verschieden von 0), und dein $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ausrechnen und fertig.

Grüße Abakus smile

05.05.2006, 21:24

zeta21

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ok... das muss ich mal versuchen...

für x=1:

$\begin{eqnarray*} (a-y_1)\cdot 1 + bx_2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -> x_2= \frac {a-y_1}{-b} \end{eqnarray*}$

das ist dann aber immer noch nicht $\begin{eqnarray*} a-y_1 \end{eqnarray*}$ ...

irgendwie versteh ich das nicht... verwirrt

05.05.2006, 21:40

Abakus

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Wie gesagt, jedes Vielfache eines EV ist wieder ein EV. Hier unterscheiden sich die EV etwa um den Faktor -b. D.h. du hast eigentlich einen (1-dim.) Eigenraum als Lösungsmenge; es reicht jedoch ein Vektor, um diesen linearen Raum zu charakterisieren.

Grüße Abakus smile

05.05.2006, 21:51

zeta21

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huhuhu... jetzt hab auch ich's geschnallt... Hammer

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