Menge aus dem Nichts

05.05.2006, 22:47

papahuhn

Menge aus dem Nichts

Um in der Algebra die freie Gruppe $\begin{eqnarray*} Fr(M) \end{eqnarray*}$ einer nichtleeren Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ zu definieren, braucht man eine neue zu $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ gleichmächtige und disjunkte Menge die $\begin{eqnarray*} M^{-1} \end{eqnarray*}$ genannt wird und die inversen Elemente beinhalten soll.
Als das damals in der Vorlesung drankam, habe ich mir direkt gedacht, dass das eine neue Vorgehensweise ist. Bis dahin wurden Strukturen über bereits existierenden Mengen definiert. Man sprach von Gruppen, Ringen, Körpern, Vektorräumen wenn Mengen und dazugehörige Abbildungen gewisse Eigenschaften erfüllt haben.
Doch hier kommt eine Menge ins Spiel, die es vorher nirgendwo gegeben hat. Es ist natürlich einfach, sich eine disjunkte gleichmächtige Menge vorzustellen, aber jetzt stellt sich mir die Frage, wodurch garantiert wird, dass es diese tatsächlich gibt. Es müsste sich aus den Zermelo-Fränkel-Axiomen ableiten lassen. Wenn ich da so drüberschaue, könnte das Fundierungsaxiom etwas damit zu tun haben.

Aber einen richtigen Überblick habe ich da nicht. Hat jemand zu dem Thema mal was gehört?

06.05.2006, 00:09

JochenX

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Es geht hier um freie Gruppen, wenn du da schon allzuviel über deine Mengen nachdenkst und denen Struktur gibst, dann bist du eigentlich schon über das Ziel hinausgeschossen.

Du beginnst mit einer leblosen Menge M an Buchstaben, also eine Menge M, deren Elemente nix aber auch gar nix erfüllen, bis auf irgendwie bezeichnet zu werden und sich hintereinanderschreiben zu lassen.

Und jetzt machst du noch den Schritt, dass du da beliebige Z-Potenzen ranschreiben kannst.
Sei z.B. deine Menge {x,y}, dann bestehen deine Elemente aus beliebigen Verkettungen von Potenzen von x und y, aber eben auch negativen Potenzen.

Also z.B. $\begin{eqnarray*} x^2yx^7y^{-3} \end{eqnarray*}$ wäre ein Wort in dieser Gruppe.
Dann gibts noch etwas Theorie (wann sind 2 Elemente gleich? wie "reduziere" ich ein Wort?) usf., aber mehr ist da erstmal nicht dahinter.

Von der sicher schon bekannten Worthalbgruppe (Wortmonoid mit leerem Wort) gehst du nur einen Schritt weiter. "Negative" Buchstaben, aber bringt dich das so aus dem Trab?
Was soll heißen, die gibt es nicht?
Genauso wie meine "Buchstaben"Menge beliebig war, kann ich mir doch genauso die "Gegenmenge" basteln.

06.05.2006, 11:28

papahuhn

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Du hast meine Frage missverstanden. Wie die freie Gruppe konstruiert wird, ist mir klar. Sie besteht aus Äquivalenzklassen einer Relation, die auf endliche Folgen in $\begin{eqnarray*} M \cup M^{-1} \end{eqnarray*}$ definiert wird. Um das Verständnis geht es nicht. Es geht darum, dass man sich zu $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine disjunkte gleichmächtige Menge aus dem Nichts denkt. Diese Menge hat semantisch noch nichts mit $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ zu tun. Erst wenn wir die Bijektion auf eine gewisse Weise interpretieren, bekommt die zweite Menge einen Sinn und wir nennen sie $\begin{eqnarray*} M^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Meine Frage bezieht sich also nicht auf die die Konstruktion der freien Gruppe an sich, sondern darauf, ob man sich zu jeder Menge eine disjunkte gleichmächtige Menge schnappen kann, wie es hier implizit getan wird. Und zwar ganz atomar, auf Basis der ZFC-Mengenlehre.

Zitat:

Genauso wie meine "Buchstaben"Menge beliebig war, kann ich mir doch genauso die "Gegenmenge" basteln.

Und genau das möchte ich gerne begründet haben. Die Buchstabenmenge ist gegeben, aber das Basteln muss der Konstrukteur der freien Gruppe übernehmen.

Edit:
Ich glaube, das ist gar nicht so schwer. Ich nehme ein zu $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ gleichmächtiges $\begin{eqnarray*} M^{-1} \subseteq Pot(M)\setminus M \end{eqnarray*}$ .

06.05.2006, 12:31

JochenX

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leider bin ich gerade immer noch überfragt, was dein Problem ist und insbesondere verstehe ich vielleicht auch gar nicht, was eure Menge M^(-1) sein soll.
Ich habe das so verstanden, als sei das einfach die Menge der "Gegenbuchstaben".
Dann sehe ich aber kein Problem darin, sie anzugeben, ich brauche ja eine völlig beliebige gleichmächtige Menge zu M. Und derer wird es immer geben.....

06.05.2006, 21:46

Abakus

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Was ist mit $\begin{eqnarray*} M \times \{0\},~M \times \{1\} \end{eqnarray*}$ usw. ? So lassen sich beliebig viele Kopien der Menge M erzeugen.

Grüße Abakus smile

06.05.2006, 22:00

papahuhn

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Zitat:

Original von Abakus
Was ist mit $\begin{eqnarray*} M \times \{0\},~M \times \{1\} \end{eqnarray*}$ usw. ? So lassen sich beliebig viele Kopien der Menge M erzeugen.

Grüße Abakus smile

Wenn $\begin{eqnarray*} M = \left\{0, 1, (0,1)\right\} \end{eqnarray*}$ , wie sieht dann $\begin{eqnarray*} M \cap (M \times \{1\}) \end{eqnarray*}$ aus? smile

06.05.2006, 22:14

Abakus

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Zitat:

Wenn $\begin{eqnarray*} M = \left\{0, 1, (0,1)\right\} \end{eqnarray*}$ , wie sieht dann $\begin{eqnarray*} M \cap (M \times \{1\}) \end{eqnarray*}$ aus? smile

Dann wäre: $\begin{eqnarray*} M \cap (M \times \{1\}) = \{(0, 1)\} \end{eqnarray*}$ . Damit wären die Mengen nicht disjunkt, ok.

Zusätzlich müsste also vorausgesetzt werden, dass in M die 1 als Element (auf irgendeiner Mengenstufe) nicht vorkommt. Ggf. könnte anstelle der 1 ein extra Symbol, etwa $1 usw. gewählt werden.

Grüße Abakus smile

07.05.2006, 00:12

JochenX

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ich sehe noch nicht das Problem
es sind doch nur Namen, sei $ eine Bezeichnung, die in M nicht vorkomme

dann definiere ich zu jedem x aus M ein Element $x in meiner neuen Menge.
Idealerweise natürlich $ ist "-" oder sowas....

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