Aufgabe zur nährungsweisen Berechnung - komme nicht weiter =(

06.05.2006, 17:25

mys

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Aufgabe zur nährungsweisen Berechnung - komme nicht weiter =(

Hallo,

ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter und würde mich über Hilfe sehr freuen:

Von 230 Mitarbeitern einer Firma kommen durchschnittlich 40% mit einem Auto zur Arbeit.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit genügt ein Parkplatz mit 100 Einstellplätzen?

Mein Lösungsansatz:
n = 230
p = 0,4
q = 0,6
$\begin{eqnarray*} k \in [ 0 | 100 ] \end{eqnarray*}$

Mü (Erwartungswert) = n * p = 230 * 0,4 = 92

$\begin{eqnarray*} sigma = \sqrt{n*p*q} = \sqrt{230*0,4*0,6} = 7,4297 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_1 = \frac{0+0,5-92}{7,4297} = -12,377 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_2 = \frac{100-0,5-92}{7,4297} = 1,0095 \end{eqnarray*}$

Nun müsste ich ja anhand von $\begin{eqnarray*} z_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_2 \end{eqnarray*}$ Phi rausbekommen (über eine tabelle mit den zugehörigen Werten). Aber für $\begin{eqnarray*} z_1 = -12,377 \end{eqnarray*}$ gibt es keinen Wert... also meine Tabelle geht nur bis z = 3.
Was jetzt? Soll ich dann einfach den Wert 0 für Phi nehmen? Oder hab ich irgendwo was falsch gemacht??

Hilfe wäre echt toll Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ciao, mys

06.05.2006, 17:42

bil

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ich hab jetzt nichts nachgerechnet aber die vorgehensweise und rechnungen stimmten auf jeden fall.
also $\begin{eqnarray*} \Phi(z_1)=0 \end{eqnarray*}$
begründung:
Aufgabe zu Bernoulli-Kette und Normalverteilung

dein ansatz war folgender:

$\begin{eqnarray*} P(0\leq X\leq 100)=standardisieren=\Phi(z_2)-\Phi(z_1) \end{eqnarray*}$

ist auch garnichts falsch dran aber es geht auch so:

$\begin{eqnarray*} P(0\leq X\leq 100)=P(X\leq 100)=P\left(X^*\leq \frac{100-\mu+0.5}{\sigma}\right)=\Phi \left( \frac{100-\mu+0.5}{\sigma}\right) \end{eqnarray*}$

jetzt klar?

gruss bil

06.05.2006, 18:16

mys

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okay, alles klar =)

vielen Dank Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.05.2006, 18:32

mys

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miiiist... bei der b) weiß ich jetzt auch schon mehr weiter :/

Jetzt soll ich ausrechnen, wie viele Einstellplätze zur Verfügung stehen müssen, damit sie mit einer WS von 90% ausreichen.

n, p und q bleiben ja gleich (also bleiben Mü und sigma auch gleich) und als WS hab ich ja 0,9 und k will ich wissen.
Aber ich weiß trotzdem nicht so recht wie ich anfangen soll.

Ich hab gedacht, dass ich vielleicht folgende Formel verwenden könnte:
$\begin{eqnarray*} P(X=k) = \frac{1}{sigma} * Phi (\frac{k-Mue}{sigma} ) \end{eqnarray*}$
aber dazu braüchte ich ja noch Phi, aber wie bekomme ich das raus?!

Also, ihr seht ich verstehe es nicht so richtig, Hilfe wäre also erneut super nett Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.05.2006, 19:21

Bjoern1982

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Hallo mys !

Also ich würde einfach diese Gleichung nach k auflösen:

$\begin{eqnarray*} P(X \leq k)=0,9= \phi (\frac{k- \mu}{\sigma}) \end{eqnarray*}$

Also einfach in der Tabelle nachgucken, für welches Argument der Wert 0,9 entsteht (ist ein Standardwert) , so dass du dann eine Gleichung der Form

$\begin{eqnarray*} (\frac{k- \mu}{\sigma})=... \end{eqnarray*}$ hast, die du nur noch nach k auflösen musst.

Gruß Björn

06.05.2006, 20:01

mys

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ähm.. meinst du ich solle anhand von 0,9 nach z gucken und anhand von z dann nach $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ?? Weil wenn nicht, hab ichs noch nicht verstanden...

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06.05.2006, 20:57

Bjoern1982

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Zitat:

ähm.. meinst du ich solle anhand von 0,9 nach z gucken

Genau das meinte ich.

Mir ist allerdings gerade aufgefallen, dass ich mich verlesen hatte - sorry geschockt

geschockt

Mach das ganze mit deiner Formel, also $\begin{eqnarray*} P(X=k)=\frac{1}{\sigma} \cdot \phi (\frac{k- \mu}{\sigma}) \end{eqnarray*}$

Es geht ja anscheinend darum wieviele Einstellplätze GENAU zur Verfügung stehen müssen - dann nämlich stimmt deine Formel.

Meistens ist aber eigentlich nach mindestens gefragt - guck doch da nochmal genau in die Aufgabenstellung, dann würde es mit der anderen Formel gehen.

Wenn nicht explizit das Schlüsselwort "genau" da steht, solltest du aber von "mindestens" ausgehen.

06.05.2006, 21:26

bil

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Wenn nicht explizit das Schlüsselwort "genau" da steht, solltest du aber von "mindestens" ausgehen.

auch wenn da stehen würde: wieviel plätze brauch man genau um mit einer wahrscheinlichkeit von 0.9 ...., bedeutet es mindestens.
es wird nämlich kein k geben mit folgender eigenschaft:

$\begin{eqnarray*} P(X=k)=0.9 \end{eqnarray*}$

das ist auch ganz logisch aber das dürft ihr euch selber überlegen Augenzwinkern

Augenzwinkern

. diese frage stellung würde man dann auch mit der binomialverteilung lösen und nicht der normalverteilung aber auch egal.

gesucht ist hier:

$\begin{eqnarray*} P(X\leq k)\geq 0.9 \end{eqnarray*}$

jetzt standardisieren und in die Phi funktion einsetzen und daraus das k bestimmen...
wenn noch was unklar ist einfach fragen....

gruss bil

06.05.2006, 21:47

mys

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öähm...

also ich habs jetzt mit $\begin{eqnarray*} P(X\leq k) = \phi (\frac{k+0,5-Mue}{sigma} ) \end{eqnarray*}$ gemacht und habe k = 98,54 rausbekommen...

mir erscheint es eigentlich schon logisch.. aber so richtig sicher bin ich mir dabei noch nicht.. ?!

edit: die genaue Aufgabenstellung ist übrigens folgende:
Wie viele Einstellplätze müssen zur Verfügung stehen, damit diese mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% ausreichen?

06.05.2006, 21:51

bil

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da hast du dich verrechnet. dein ansatz ist auf jeden fall richtig, wie hast du genau dein k rausbekommen?

auf jeden fall ergibt die probe:

$\begin{eqnarray*} P(X\leq 99)=0.679 \end{eqnarray*}$

das ist übrigens der exakte wert mit binomialverteilung aber die approximation mit normalverteilung sollte auch nicht gross anders sein...

gruss bil

06.05.2006, 21:59

mys

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ich habs folgendermaßen gerechnet:

$\begin{eqnarray*} P(X\leq k) = \phi (\frac{k+0,5-Mue}{sigma} ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0,9 = 0,9505 * (\frac{k+0,5-92}{7,4297} ) \end{eqnarray*}$ /:0,9505
$\begin{eqnarray*} 0,947 = \frac{k-91,5}{7,4297} \end{eqnarray*}$ /*7,4297
$\begin{eqnarray*} 7,04 = k - 91,5 \end{eqnarray*}$ /+91,5
$\begin{eqnarray*} 98,54 = k \end{eqnarray*}$

06.05.2006, 22:05

Bjoern1982

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Wie kommst du denn auf den Faktor 0,9505 ?

Eigentlich musst du nur dein z nachgucken und dann nur noch mit $\begin{eqnarray*} \frac{k+0,5-\mu }{\sigma} \end{eqnarray*}$ gleichsetzen und nach k auflösen.

06.05.2006, 22:06

mys

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indem ich anhand von 0,9 nach z gucken und anhand von z dann nach Phi gucke...?!

wenn ich nach z gucke und das dann gleichsetzte kommt aber 103,759 raus. Und das ist ja nicht wirklich logisch, wenn man bedenkt, dass 100 Einstellplätze schon mit 99% gereicht haben. Dann müssen es beo 90% doch weniger Plätze sein, oder?!

06.05.2006, 22:07

bil

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Zitat:

Original von mys
ich habs folgendermaßen gerechnet:

$\begin{eqnarray*} P(X\leq k) = \phi (\frac{k+0,5-Mue}{sigma} ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0,9 = 0,9505 * (\frac{k+0,5-92}{7,4297} ) \end{eqnarray*}$ /:0,9505
$\begin{eqnarray*} 0,947 = \frac{k-91,5}{7,4297} \end{eqnarray*}$ /*7,4297
$\begin{eqnarray*} 7,04 = k - 91,5 \end{eqnarray*}$ /+91,5
$\begin{eqnarray*} 98,54 = k \end{eqnarray*}$

aha, das erkärt dein falsches ergebniss. wunderlich das überhaupt noch so ein schönes k rausgekommen ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

also so gehts:
wir wissen

$\begin{eqnarray*} \Phi(1.282)=0.9 \end{eqnarray*}$

das bedeutet:
da

$\begin{eqnarray*} \Phi \left(\frac{k+0.5-\mu}{\sigma}\right)\geq 0.9 \end{eqnarray*}$

folgt

$\begin{eqnarray*} \frac{k+0.5-\mu}{\sigma}=1.282 \end{eqnarray*}$

und das musst du nach k umformen, das wars.

edit: da war bjorn wohl schon schneller Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.05.2006, 22:14

mys

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äh.. und wo bekomme ich 1,282 her??

z ist doch 1,65......?!

06.05.2006, 22:19

bil

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ich habs mit meinem programm mir eben anzeigen lassen. aber normalerweise benutzt man eine tabelle die folgendes ergibt:

$\begin{eqnarray*} \Phi(1.69)=0,95154 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \Phi(1.29)=0,90147 \end{eqnarray*}$

mein wert war halt noch etwas genauer aber da es sich um eine approximation handelt brauch war es eh quatsch. 1.29 reicht.

hier die tabelle:
http://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_Sta...ormalverteilung

gruss bil

06.05.2006, 22:26

mys

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ja, wie jetzt??

wieso für z 1,29??

In meiner einen Tabelle steht für P=0,9 z=1,65
und für z=1,65 steht in meiner anderen Tabelle (und auch bei wikipedia) Phi=0,9505

also warum is es denn bei mir jetzt falsch?

06.05.2006, 22:40

bil

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der grund ist folgender, deine erste tabelle berechnet den zweiseitigen wert und die andere(wie auch wikipedia) den einseitigen.
siehe:

einseitig bedeutet:

$\begin{eqnarray*} P(X^*\leq z)=\Phi(z) \end{eqnarray*}$

zweiseitig bedeutet die wahrscheinlichkeit um den erwartungswert:

$\begin{eqnarray*} P(\mu-z\sigma\leq X \leq \mu + z\sigma) \end{eqnarray*}$

06.05.2006, 22:51

mys

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ahja... und was mach ich jetzt??

ich hab nunmal keine tabelle, die den einseitigen Wert berechnet..

also so lassen?

06.05.2006, 22:58

bil

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Zitat:

Original von mys
ahja... und was mach ich jetzt??

ich hab nunmal keine tabelle, die den einseitigen Wert berechnet..

also so lassen?

was willst du lassen? z=1.69? das wäre falsch. du hast ja jetzt sogar zwei tabellen, einmal die ich gepostet hab und ein mal wikipedia. das sollte doch reichen Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.05.2006, 23:00

mys

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aber unser lehrer hat gemeint, die Tabellen, die wir haben reichen und die sollen wir auch benutzen?!

Wäre es denn wirklich so falsch?

Oder für den Anfang einfach ein bißchen einfacher oder so?

06.05.2006, 23:03

bil

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Zitat:

Original von mys
aber unser lehrer hat gemeint, die Tabellen, die wir haben reichen und die sollen wir auch benutzen?!

Wäre es denn wirklich so falsch?

Oder für den Anfang einfach ein bißchen einfacher oder so?

das ergebniss ist nicht sooooo falsch, es kommt dann k=108 raus. richtig wäre k=106. also der fehler ist nur minimal aber ansich ist es schon falsch!

aber eine tabelle hat euch ja euer lehrer gegeben:

Zitat:

und für z=1,65 steht in meiner anderen Tabelle (und auch bei wikipedia) Phi=0,9505und für z=1,65 steht in meiner anderen Tabelle (und auch bei wikipedia) Phi=0,9505

wenn du in der tabelle nach 0.9 suchst wirst du für z=1.29 finden.
oder?

gruss bil

06.05.2006, 23:16

mys

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Ich habe 2 verschiedene Tabellen, einmal eine Tabelle, wo z-Werte und die dazugehörigen P-Werte stehen und in dieser Tabelle finde ich für P=0,9 z=1,65.
Dann habe ich noch eine andere tabelle, wo z-Werte mit den dazugehörigen Phi-Werten drin stehen und dort steht für z=1,65 Phi=0,9505.

Andere Tabellen habe ich nicht.

und wieso soll überhaupt für k = 108 (oder eben 106) raus kommen??

wie soll das denn jetzt gerechnet werden?? weil ich hab ja weder 108 noch 106 raus.

Bin voll verwirrt jetzt :/

06.05.2006, 23:24

bil

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Zitat:

Original von mys
Dann habe ich noch eine andere tabelle, wo z-Werte mit den dazugehörigen Phi-Werten drin stehen und dort steht für z=1,65 Phi=0,9505.

Andere Tabellen habe ich nicht.

genau die tabelle meine ich, das ist eine einseitige tabelle. du suchst in der tabelle welches z ca. 0.9 ausgibt. also du verwendest die tabelle quasi andersrum.

Zitat:

und wieso soll überhaupt für k = 108 (oder eben 106) raus kommen??

wie soll das denn jetzt gerechnet werden?? weil ich hab ja weder 108 noch 106 raus.

Bin voll verwirrt jetzt :/

es gibt ja jetzt zwei werte. einmal den falschen:

$\begin{eqnarray*} \Phi(1.69)\not =0.9 \end{eqnarray*}$

und den richtigen:

$\begin{eqnarray*} \Phi(1.29)\approx 0.9 \end{eqnarray*}$

und jetzt müssen wir das machen:

Zitat:

Original von bil
also so gehts:
wir wissen

$\begin{eqnarray*} \Phi(1.282)=0.9 \end{eqnarray*}$

das bedeutet:
da

$\begin{eqnarray*} \Phi \left(\frac{k+0.5-\mu}{\sigma}\right)\geq 0.9 \end{eqnarray*}$

folgt

$\begin{eqnarray*} \frac{k+0.5-\mu}{\sigma}=1.282 \end{eqnarray*}$

und das musst du nach k umformen, das wars.

also:

$\begin{eqnarray*} \frac{k+0.5-\mu}{\sigma}=1.282 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow~~k=106 \end{eqnarray*}$ (eigentlich 105.29 aber ich runde auf) falsches ergebniss da mit n=240 statt 230 gerechnet)
(selber nochmal nachrechnen)

und für deinen falschen wert 1.69 käme:

$\begin{eqnarray*} \frac{k+0.5-\mu}{\sigma}=1.69 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow~~k=108 \end{eqnarray*}$ falsches ergebniss da mit n=240 statt 230 gerechnet)
(wieder selber nachrechnen)

jetzt klar?

edit bil, fehler erkannt Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.05.2006, 23:40

mys

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, da habe ich ja dann für z=1,65 k=104 raus bekommen.....

is es jetzt erstmal ok so (eben bis auf den falschen wert für z) oder nicht?

06.05.2006, 23:50

bil

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also wenn du z=1.65 nimmst in es ansich falsch!
richtig ist, was auch deine 2.tabelle eigentlich geben müsste z=1.29.

ok, sehe gerade das k=108 und k=106 beide falsch sind, ich hab mit n=240 gerechnet und folglich einen falschen erwartungswert mü und falsche varianz gehabt.

also mit z=1.65 kommt wie du richtig gerechnet hast k=104 raus.
mit z=1.29 kommt k=101 raus.
also liefert die rechnung mit z=1.65 genau 3 parkplätze mehr...

aber du kannst ja dein lehrer nochmal genau drauf ansprechen, verstanden hast du es ja und das ist das wichtigste. wenn euer lehrer euch ne falsche tabelle gibt könnt ihr ja auch nichts dafür...

gruss bil

06.05.2006, 23:55

mys

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na endlich..... *g*

ist echt toll, dass einem hier immer so super geholfen wird, sogar Samstag Nachts smile

smile

also vielen vielen Dank!!!!!

P.S. könnte gut sein, dass ich mich morgen nochma wegen was anderem melde^^

06.05.2006, 23:59

bil

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Zitat:

Original von mys
na endlich..... *g*

ist echt toll, dass einem hier immer so super geholfen wird, sogar Samstag Nachts smile

smile

also vielen vielen Dank!!!!!

P.S. könnte gut sein, dass ich mich morgen nochma wegen was anderem melde^^

kein problem Augenzwinkern

Augenzwinkern

...

also bis dann...
bil

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