Grenzwertbestimmung |
| 18.05.2004, 11:36 | Studenten | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Grenzwertbestimmung wir haben hier eine Aufgabe die wir zwar mit der Regel von L´Hospital bestimmt haben. Die Aufgabenstellung ist aber das wir sie durch elementare Umformungen ohne diese Regeln lösen sollen. Hier die Aufgabe lim x-->2 sin(2x)/x Wäre gut wenn jemand mal seinen Rechenweg hier posten könnte. Viele Grüße und danke schonmal |
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| 18.05.2004, 12:42 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Grenzwertbestimmung Meint ihr wirklich den Grenzwert oder meint ihr den Grenzwert ? Der erste ist naemlich offensichtlich sin(4)/2. Fuer den zweiten braeuchte man z.B. l'Hospital. |
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| 18.05.2004, 12:44 | loser | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Grenzwertbestimmung da gibt es doch eigentlich gar keinen grund, l'hospital anzuwenden!? --> sin(4) /2 aber falls ich jetzt was verpeile, gibt's immer noch die möglichkeit, sich folgendes mal näher anzusehen: sin2x=2sinx cosx |
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| 18.05.2004, 13:05 | jama | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Verschoben -> Höhere Mathematik Gruß, Jama |
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| 18.05.2004, 13:42 | loser | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Falls es um SirJectives Annahme geht, gilt Folgendes mit l'Hospital: Man kann aber auch bekannte Grenzwerte abspalten, dazu ersetzt man den Sinus vom doppelten Winkel (sin2x) mit dem Term aus meinem vorigen Beitrag. Dann hat man ebenfalls hoffe, das stimmt. |
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| 18.05.2004, 13:43 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Grenzwertbestimmung
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| 18.05.2004, 13:55 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja gut. Der "loser" hat ja das Problem schoen zurueckgefuehrt auf den Grenzwert von sin(x)/x fuer x gegen Null. Wenn die "Studenten" den Grenzwert kennen, ist das eine schoene Herleitung, wenn nicht, dann muessen sie diesen Grenzwert auch berechnen. |
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| 18.05.2004, 14:03 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
losers Lösung stimmt nicht! Da ist ein x im Nenner zu viel: cos x / x strebt gegen Unendlich! Ohne das überflüssige x stimmt's. Aber einfacher ist's, 2 sin(2x) / x mit 2 zu erweitern: 4 sin(2x) / (2x) und 2x=t zu substituieren. Der Grenzübergang x->0 zieht den Übergang t->0 nach sich. |
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| 18.05.2004, 14:10 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Leopold Ja, hast vollkommen recht. (Mir ist das vor lauter ge-xe gar nicht aufgefallen.) Da ist ein x im Nenner zuviel, aber von der Loesungsidee her macht es nichts. Und wie immer - findest du eine schnellere Loesung. Und wie berechnet man nochmal den Grenzwert ? Ok, habs... z.B. Abschaetzen von x durch sin(x) und tan(x) fuer kleine positive x, noch ein bisserl umformen und dann x gegen 0 gehen lassen. |
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| 18.05.2004, 14:34 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Grenzwert von (sin x)/x für x->0 Was zur Berechnung erlaubt ist, hängt von den Vorkenntnissen ab. Methode 1 (Plausibilitätsbetrachtung) Für x nahe 0 ist der Bogen x fast gleich seinem Sinus (Einheitskreis), also ist der Quotient fast 1. Der Fehler verschwindet für x->0. Methode 2 (Flächenvergleich am Einheitskreis) Die Schummel-Methode 1 kann präzisiert werden. Ich definiere die folgenden Punkte: O(0|0), E(1|0), P(cos x | sin x), P'(cos x | 0), T(1| tan x). Aus dem Vergleich der folgenden Flächen kann eine Ungleichung hergeleitet, die (sin x)/x zwischen zwei Terme einschließt, deren Grenzwert für x->0 gleich 1 ist. Dreieck OP'P < Sektor OEP < Dreieck OET Methode 3 (Potenzreihe) sin x = x - (1/6)x³ ± ... Also ist (sin x)/x = 1 - (1/6)x² ± ... bei x=0 stetig ergänzbar mit Wert 1. Methode 4 (Differenzenquotient) (sin x)/x ist der Differenzenquotient der Sinus-Funktion an der Stelle 0. Der Grenzwert ist also gleich der Ableitung der Sinus-Funktion an der Stelle 0, d.h. cos 0 = 1. Da in der Schule aber in der Regel die Ableitung des Sinus mit Hilfe des (bekannten) Grenzwertes von (sin x)/x hergeleitet wird, dreht man sich bei diesen Voraussetzungen mit Methode 4 im Kreis. |
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| 18.05.2004, 14:50 | Philipp-ER | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und von der Definition von Sinus und Kosinus (die Definition am Einheitskreis ist dabei höchst unbefriedigend, da der alles andere als elementare Begriff der Bogenlänge meist undefiniert verwendet wird). Im Heuser werden sie zum Beispiel definiert als die auf ganz R definierten und stetigen Funktionen, die (1) sin x ist eine ungerade, cos x eine gerade Funktion (2) sin(x+y)=sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y) (3) cos(x+y)=cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y) (4) (5) cos(0)=1 erfüllen, wobei Existenz und Eindeutigkeit mit der Potenzreihenentwicklung bewiesen werden. Hier ist der Grenzwert also einfach Definition. |
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| 18.05.2004, 22:30 | Studenten | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nabend, erstmal vielen Dank für Eure Antworten. Allerdings muss ich zugeben, dass mir ein schwerer Schreibfehler passiert ist. X geht gegen 0 !!!!!!!!! Die Aufgabe lautet somit (sin2x)/x für x->0 Wenn ich für X 0 einsetze bekomme ich Null durch Null, kann also L´Hospital anwenden. Dann bekomme ich ja den Grenzwert 2 heraus.(nachdem ich einmal abgeleitet habe). Aber gefordert ist, dass ich sie eben nicht mit dieser Regel löse sondern durch Umformungen, Additionstheoreme etc. Wie geht das ? Sorry nochmals für den Schreibfehler, aber diese passieren nun einmal Viele Grüße |
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| 18.05.2004, 22:32 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Habt ihr euch den Thread ueberhaupt durchgelesen? Wir haben schon zu Anfang den Schreibfehler bemerkt und eine Loesungsskizze (bzw. die Lösung) gegeben. |
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| 19.05.2004, 09:49 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Studenten: Nen schlechten Eindruck macht sowas, wenn man auf der Suche nach Hilfe ist... X( |
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| 21.05.2004, 13:56 | Studenten | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, sicher haben wir das gelesen. Doch die berichtete Aufgabe sehen wir in keiner Weise in diesen Posts. Bei euch ist immer die Rede von sin(x)/x bei uns aber von sin(2x)/x. Und für sin(2x)/x sehen wir beim besten willen keinen lösungsvorschlag. Limes geht immer gegen Null. Mittlerweile haben wirs aber lösen können. Schöne Grüße |
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| 21.05.2004, 14:03 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ihr habt den Thread immer noch nicht gelesen. Auch ein Faktor 2 vor dem Sinus, der hie möglicherweise zuviel ist, ändert ja nicht so wahnsinnig viel am Grenzwert, bzw. an der Bestimmung desselben. |
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| 21.05.2004, 17:53 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ehrlich gesagt: Das tut schon ziemlich weh @Studenten. Setze y = 2x. Dann ist sin(2x)/x = 2 * sin(2x)/2x = 2 * sin(y)/y --> 2 * 1 = 2 für x-->0. |
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