Grenzwerte mit Hilfe von Potenzreihenentwicklung

08.05.2006, 11:17

benefunk

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Grenzwerte mit Hilfe von Potenzreihenentwicklung

Morgään zsämme, Wink

Wink

ich bin neu hier im Forum und habe auch schon gleich eine Frage. Die Aufgabenstellung ist die Folgende:

Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte mit HIlfe der Potenzreihenentwicklung

a) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to o} \frac{x-sin(x)}{x(1-cos(x)} \end{eqnarray*}$

Ich habe noch mehr Aufgaben aber ich brauche erst mal einen Ansatz. Ich sitze wie der Ochs vorm Berg unglücklich

unglücklich

Oder auf dem Schlauch.

Also wenn mir jemand weiterhelfen kann wäre ich Ihm sehr verbunden Freude

Freude

gruß
Benedikt

08.05.2006, 11:32

Dual Space

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RE: Grenzwerte mit Hilfe von Potenzreihenentwicklung
Ein Ansatz wäre wohl cos und sin erst mal in eine Potenzreihe zu entwickeln. Vielleicht sieht man dann schon was.

Btw.

http://img125.echo.cx/img125/8038/01welcome7jb.gif

08.05.2006, 11:48

benefunk

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RE: Grenzwerte mit Hilfe von Potenzreihenentwicklung

Zitat:

Original von Dual Space
Ein Ansatz wäre wohl cos und sin erst mal in eine Potenzreihe zu entwickeln. Vielleicht sieht man dann schon was.

OK für sin und cos kann ich schon eine Potenzreihe entwickeln. Aber ich tue mich schwer mit den termen. wie baue ich den "x- .." und das "x(1- ...)" ein das vor den beiden termen steht? unglücklich

unglücklich

Oje das ist echt nicht mein Thema,
benedikt

08.05.2006, 11:54

Dual Space

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Ein Schritt nach dem anderen. Poste doch mal die Potenzreihenentwicklungen, also:

$\begin{eqnarray*} \sin(x)=\dots \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \cos(x)=\dots \end{eqnarray*}$

Dann wirst du sehen, wozu die "x-..." und x(1-...)" gut sind. Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.05.2006, 12:08

benefunk

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Also gut dann fangen wir mal an.

$\begin{eqnarray*} \sin(x) = \sum_{k=o}^\infty ~(-1)^{k} * \frac{x^{2k + 1}}{(2k + 1)!} = x - \frac{x^{3} }{3!} + \frac{x^{5} }{5!} - + .. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos(x) = \sum_{k=0}^\infty ~(-1)^{k} * \frac{x^{2k}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!}-+... \end{eqnarray*}$

So das wäre mal geschafft. Nun sind die Reihen ja aber noch nicht fertig !!! puh es fällt mir nicht ein !!!

08.05.2006, 12:25

Dual Space

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Gut. Nun sollst du laut deiner Augabe von der sin-Reihe ein x subtrahieren und bei der cos-Reihe 1 subtrahieren und anschließend mit x multiplizieren. Was fällt dir auf?

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08.05.2006, 12:34

benefunk

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ok,
dann sollte bei der sin - reihe das x wegfallen und die reihe sollte dann so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \sin(x) = ... = - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} -+ ... \end{eqnarray*}$

bei der cos - reihe sollte das so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \cos(x) = ... = -(x)* \frac{x^{2}}{2!} + (x) * \frac{x^{4}}{4!} -+ ... \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig oder liege ich jetzt komplett falsch?

08.05.2006, 13:46

Dual Space

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Du liegst vollkommen richtig. Bedenke aber, dass

$\begin{eqnarray*} x\cdot\frac{x^n}{n!}=\frac{x^{n+1}}{n!} \end{eqnarray*}$

Jetzt klar?

Ergänzung: Richtig sollte es natürlich so aussehen:
$\begin{eqnarray*} x-\sin(x) = - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} -+ ... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x(1-\cos(x)) = -(x)* \frac{x^{2}}{2!} + (x) * \frac{x^{4}}{4!} -+ ... \end{eqnarray*}$

Zwischenstand:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \frac{x-\sin(x)}{x(1-\cos(x))}=\lim_{x\to 0} \frac{-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dots}{-\frac{x^3}{2!}+\frac{x^5}{4!}-\dots} \end{eqnarray*}$

Nun noch in Zähler und Nenner $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ ausklammern - fertig! Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.05.2006, 14:20

benefunk

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ja das ist mir jetzt klar. Jetzt weiß ich auch wie ich die anderen Aufgaben anpacken muss.

Jetzt weiß ich allerdings noch nicht wie ich die Grenzwerte errechne !!! unglücklich

unglücklich

08.05.2006, 14:22

Dual Space

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Zitat:

Original von benefunk
ja das ist mir jetzt klar. Jetzt weiß ich auch wie ich die anderen Aufgaben anpacken muss.

Freude

Sehr gut!

Zitat:

Jetzt weiß ich allerdings noch nicht wie ich die Grenzwerte errechne !!! unglücklich

unglücklich

Woran scheitert es denn?

08.05.2006, 14:27

benefunk

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Es scheitert schon am Ansatz !!! (leider) Ich wüßte jetzt nicht wie ich vorgehen muss. Oder kann ich die beiden Reihen einfach ausrechnen?

08.05.2006, 14:36

Dual Space

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Verstehe ich richtig, dass du jetzt nicht genau weißt, wie man diesen (siehe unten) GW berechnet? Falls das so ist, rechne ich es dir exemplarisch vor:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \frac{-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dots}{-\frac{x^3}{2!}+\frac{x^5}{4!}-\dots}=\lim_{x\to 0}\frac{x^3\left(-\frac{1}{3!}+\frac{x^2}{5!}-\dots\right)}{x^3\left(-\frac{1}{2!}+\frac{x^2}{4!}-\dots\right)}=\lim_{x\to 0}\frac{-\frac{1}{3!}+\frac{x^2}{5!}-\dots}{-\frac{1}{2!}+\frac{x^2}{4!}-\dots}=\frac{-\frac{1}{3!}}{-\frac{1}{2!}}=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

08.05.2006, 14:38

benefunk

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Ja du verstehst mich da richtig smile

smile

Es wäre super wenn du es mir exemplarisch vorrechnen würdest.

08.05.2006, 14:40

Dual Space

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Zitat:

Original von Dual Space
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \frac{-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dots}{-\frac{x^3}{2!}+\frac{x^5}{4!}-\dots}=\lim_{x\to 0}\frac{x^3\left(-\frac{1}{3!}+\frac{x^2}{5!}-\dots\right)}{x^3\left(-\frac{1}{2!}+\frac{x^2}{4!}-\dots\right)}=\lim_{x\to 0}\frac{-\frac{1}{3!}+\frac{x^2}{5!}-\dots}{-\frac{1}{2!}+\frac{x^2}{4!}-\dots}=\frac{-\frac{1}{3!}}{-\frac{1}{2!}}=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Das hab ich damit! Big Laugh

Big Laugh

08.05.2006, 14:42

benefunk

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Freude

ich danke dir !!!

Falls ich mit den anderen Aufgaben noch Probleme habe werde mich mich wieder an den Mathe Gott "Dual Space" wenden Wink

Wink

gruß und danke
Benedikt

08.05.2006, 14:45

Dual Space

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Zitat:

Original von benefunk
Mathe Gott "Dual Space"

Freude

Big Laugh

08.05.2006, 15:21

benefunk

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Zitat:

Original von Dual Space
Verstehe ich richtig, dass du jetzt nicht genau weißt, wie man diesen (siehe unten) GW berechnet? Falls das so ist, rechne ich es dir exemplarisch vor:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \frac{-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dots}{-\frac{x^3}{2!}+\frac{x^5}{4!}-\dots}=\lim_{x\to 0}\frac{x^3\left(-\frac{1}{3!}+\frac{x^2}{5!}-\dots\right)}{x^3\left(-\frac{1}{2!}+\frac{x^2}{4!}-\dots\right)}=\lim_{x\to 0}\frac{-\frac{1}{3!}+\frac{x^2}{5!}-\dots}{-\frac{1}{2!}+\frac{x^2}{4!}-\dots}=\frac{-\frac{1}{3!}}{-\frac{1}{2!}}=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

so jetzt noch kurz ne frage. was ist den mit dem $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ passiert? du hast es ausgeklammert und dann war es weg geschockt

geschockt

und ich weiss nicht wohin. der Rest ist mir klar.

gruß
Benedikt

08.05.2006, 15:44

benefunk

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Aufgabe 2 -> nächstes Problem unglücklich

unglücklich

Aber immerhin habe ich schon einen Ansatz.

Hier erst mal die Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \lim_{0 \to \infty } \frac{e^x + e^-x -2}{x - ln( 1 + x)} \end{eqnarray*}$

Ich würde jetzt folgendermaßen vorgehen. Ich würde oben erst mal die beiden Potenzreihe $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^-x \end{eqnarray*}$ zusammenaddieren und dann die 2 subtrahieren.

Im Nenner würde ich die Potzenfunktion für $\begin{eqnarray*} ln(1+x) \end{eqnarray*}$ nehmen und x subtrahieren.

Bin ich da schon mal auf dem richtigen Weg? dann würde ich mal die Ergebnisse posten die ich rausbekommen habe.

08.05.2006, 20:03

Dual Space

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Zitat:

Original von benefunk
was ist den mit dem $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ passiert? du hast es ausgeklammert und dann war es weg geschockt

geschockt

und ich weiss nicht wohin

Das wurde weggekürzt, und das geht, weil vor dem Grenzübergang $\begin{eqnarray*} x\not= 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Zu Aufgabe 2: Poste doch mal die Potenzreihenentwicklungen und deine vorgeschlagenen Manipulationen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.05.2006, 20:05

benefunk

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oh man, ja klar. Das mir das nicht aufgefallen ist. Na ja man sollte zwischendurch auch mal an die frische luft.

08.05.2006, 20:05

Dual Space

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Siehe auch mein Nachtrag zu Aufgabe2 oben! Wink

Wink

08.05.2006, 20:39

benefunk

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sodele, dann wollen wir doch mal.

$\begin{eqnarray*} \lim_{ x\to 0} \frac{e^{x} + e^{-x} - 2}{x - ln(1 + x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ == $\begin{eqnarray*} 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} + ... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ == $\begin{eqnarray*} 1 - \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} - + ... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{x} + e^{-x} - 2 \end{eqnarray*}$ == $\begin{eqnarray*} 2 * \frac{x^{2}}{2!} + 2 * \frac{x^{4}}{4!} \end{eqnarray*}$

hier ist jetzt die frage ob man das auch so schreiben kann ??? :
$\begin{eqnarray*} \frac{2x^{3}}{2!} + \frac{2x^{5}}{4!} \end{eqnarray*}$

Wenn das allerdings falsch ist dann habe ich ja falsches Ergebnis wobei ich gar kein Ergebnis haben fällt mir gerade auf. Ich mache mal mit der Nenner Potenzreihe weiter.

$\begin{eqnarray*} ln(1 + x) \end{eqnarray*}$ == $\begin{eqnarray*} x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} + - ... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x - ln(1 + x)) \end{eqnarray*}$ == $\begin{eqnarray*} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} + - ... \end{eqnarray*}$

So dann bin ich auf folgendes gekommen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x} \frac{(\frac{2x^{3}}{2!} + \frac{2x^{5}}{4!})}{(- \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4})} = \lim_{x \to 0} \frac{x^{2}(\frac{2x}{2!} + \frac{2x^{3}}{4!})}{x^{2}(- \frac{1}{2} +\frac{x}{3} - \frac{x^{2}}{4})} \end{eqnarray*}$

Habe das $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ dann rausgekürzt. Aber weiter bin ich noch nicht. Ich habe auch den Verdacht das da was nicht stimmt unglücklich

unglücklich

gruß
Benedikt

08.05.2006, 20:47

Dual Space

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Also du hast:

$\begin{eqnarray*} e^x+e^{-x}-2=\frac{2x^2}{2!} + \frac{2x^4}{4!}+\dots \end{eqnarray*}$

Deine andere Schreibweise ist falsch (frag mich wie du darauf gekommen bist verwirrt

verwirrt

). So jetzt mach damit mal weiter. Augenzwinkern

Augenzwinkern

PS: Bei der Potenzreihe von "x-ln(1+x)" solltest du nochmal über die Vorzeichen nachdenken. Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.05.2006, 20:49

benefunk

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ja ich bin ja ein frosch. ich sage dir wie ich drauf gekommen bin. durch deine formel weiter oben. ich habe dann $\begin{eqnarray*} 2x^{2+1} \end{eqnarray*}$ gemacht. Aber das ist falsch. sehe ich jetzt auch ein.

Aber wenn das alles ist dann mache ich jetzt mal weiter.

08.05.2006, 20:51

Dual Space

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Arghs ... bist du schnell mit den Antworten!

Also überprüf noch mal die Vorzeichen von deiner "x-ln(1+x)"-Reihe. Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.05.2006, 21:09

benefunk

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Ich finde bei der x-ln(1 - x) keine Vorzeichenfehler

$\begin{eqnarray*} ln(1 + x) \end{eqnarray*}$ == $\begin{eqnarray*} x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} + - ... \end{eqnarray*}$

und wenn ich jetzt das x subtrahiere dann fällt doch einfach das x weg. Das Minus dürfte sich doch nicht ändern oder verwirrt

verwirrt

Ich habe jetzt mal weitergerechnet und folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} \lim_{0 \to x} \frac{(\frac{2x^{2}}{2!} + \frac{2x^{4}}{4!} + ...)}{(- \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} + - ...)} = \lim_{0 \to x} \frac{x^{2}(1 + \frac{2x^{2}}{4!})}{x^{2}(- \frac{1}{2} + \frac{x}{3} - \frac{x^{2}}{4})} = \lim_{0 \to x} \frac{1}{- \frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

passt es jetzt ???

08.05.2006, 21:15

Dual Space

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Zitat:

Original von benefunk
und wenn ich jetzt das x subtrahiere dann fällt doch einfach das x weg. Das Minus dürfte sich doch nicht ändern oder verwirrt

verwirrt

unglücklich

Aber du subtrahierst nicht x von ln(1+x), sondern andersrum!

Wie ich schon erwähnte stimmen die Vorzeichen noch nicht. Folglich gilt selbiges auch für den restlichen Rechenweg.

Und btw.: Nach dem Grenzübergang, darf man das $\begin{eqnarray*} \lim \end{eqnarray*}$ nicht mehr vor den Term schreiben.

08.05.2006, 21:26

benefunk

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Ok, man merkt ich bin müde. Das heißt also die Vorzeichen drehen sich gerade um. Nur um nochmal sicher zu gehen.

dann würde es ja heißen.

$\begin{eqnarray*} \lim_{0 \to x} \frac{(\frac{2x^{2}}{2!} + \frac{2x^{4}}{4!} + ...)}{(\frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{4}}{4} - + ...)} = \lim_{0 \to x} \frac{x^{2}(1 + \frac{2x^{2}}{4!})}{x^{2}(\frac{1}{2} - \frac{x}{3} + \frac{x^{2}}{4})} =\lim_{0 \to x} \frac{(1 + \frac{2x^{2}}{4!})}{(\frac{1}{2} - \frac{x}{3} + \frac{x^{2}}{4})} = \frac{1}{ \frac{1}{2}} = 2 \end{eqnarray*}$

08.05.2006, 21:30

Dual Space

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{0 \to x} \frac{(\frac{2x^{2}}{2!} + \frac{2x^{4}}{4!} + ...)}{(\frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{4}}{4} - + ...)} = \lim_{0 \to x} \frac{x^{2}(1 + \frac{2x^{2}}{4!})}{x^{2}(\frac{1}{2} - \frac{x}{3} + \frac{x^{2}}{4})} =\lim_{0 \to x} \frac{(1 + \frac{2x^{2}}{4!})}{(\frac{1}{2} - \frac{x}{3} + \frac{x^{2}}{4})} = \frac{1}{ \frac{1}{2}} = 2 \end{eqnarray*}$

Freude

Stimmt! Aber bitte nicht die Pünktchen innerhalb der Klammern vernachlässigen. Mit oder ohne ist ein RIESEN Unterschied!

08.05.2006, 21:32

benefunk

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Super

Wink

Ich melde mich bestimmt wieder !!!

09.05.2006, 14:58

benefunk

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Hallo, so jetzt habe ich noch mit einer Aufgabe ein Problem.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 3x -1}{\sin^{2}(5x)} \end{eqnarray*}$

Ich weiß bei der Aufgabe leider nicht wie ich die Aufgabe anpacken soll !!! Vielleicht kannst du mir nochmal helfen.

gruß Benedikt

09.05.2006, 17:08

Dual Space

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Tjoa ... da wirst du wohl um die Potenzreihenentwicklung von $\begin{eqnarray*} \sin^2(x) \end{eqnarray*}$ nicht herum kommen.

09.05.2006, 17:35

Mathespezialschüler

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... was aber mit $\begin{eqnarray*} \sin^2x=\frac{1-\cos 2x}{2} \end{eqnarray*}$ kein so großes Problem sein sollte.

Gruß MSS

09.05.2006, 21:20

benefunk

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, falls weitere Probleme auftauchen melde ich mich Wink

Wink

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