Binäre quadratische Form

Neue Frage »

Iridium Auf diesen Beitrag antworten »
Binäre quadratische Form
Hallo,

Gibt es eine (allgemeine ?) Methode, um für eine gegebene Zahl effektiv entscheiden zu können, ob sie sich durch eine spezielle binäre, quadratische Form darstellen lässt, ohne das mit trial-and-error herausfinden zu müssen?

Gibt es speziell für die binäre, quadratische Form eine solche Methode? (die genannte Form besitzt einige Bedeutung für zweidimensionale hexagonale Gitter in der Ebene bzw. eingebettet in andere Flächen...dadurch z.B. auch Bedeutung in der Oberflächenstruktur von Viren -> Triangulationszahlen)

Ich dachte möglicherweise an etwas ähnliches wie bei den Dreieckszahlen wo sich durch das Ergebnis von selbiges testen lässt...wenn gilt, ist x die n-te Dreieckszahl.

Schon mal Danke für alle Tipps und Anregungen...

Gruß
Iridium Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Binäre quadratische Form
Vielleicht dient es dem besseren Verständnis, wenn ich meine Frage präzisiere:

Kennt jemand eine Methode, um für eine gegebene Zahl zu entscheiden, ob diese sich in der Form mit darstellen läßt? Es geht mir primär um eine bloße ja/nein-Entscheidung, weniger um die Bestimmung der Variablenpaare im konkreten Fall.

Vielleicht gibt es ja hier im Forum einen Zahlentheoretiker, der im Zusammenhang mit binären, quadratischen Formen, wie der obigen, von der Existenz eines solchen Tests weiß (vermutlich ist so was nicht ganz trivial)?

Alternativ würde es mir übrigens auch schon helfen, wenn mir ein erfahrener Mathematiker eine Einschätzung darüber geben könnte, wo der Schwierigkeitsgrad des Problems anzusetzen wäre? Also irgendwo auf einer Skala zwischen trivial und Beweis des Fermatschen Satzes...:-)

Vielleicht sollte ich der Vollständigkeit halber auch erwähnen, daß es tatsächlich schon einen Test gibt, der auf der Primfaktorzerlegung der Zahl beruht. Wenn sich in der erwähnten Weise darstellen läßt, enthält die Primfaktorzerlegung von keine ungeradzahligen Faktoren von 2 oder einer Primzahl der Form . Aber wenn ich zuerst eine Primfaktorzerlegung durchführen muß, um das entscheiden zu können, weiß ich nicht, ob ich nicht mit etwa demselben Aufwand auch einfach mit trial-and-error prüfen kann.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann nur soviel dazu beitragen, dass die Zahlentheoretiker das gern auf "rein" quadratische Formen zurückführen. D.h., im vorliegenden Fall wäre das

mit .
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Binäre quadratische Form
Ich weiß wenig von binären quadratischen Formen, aber einen einfachen Test, ob sich eine ganze Zahl durch diese Form darstellen lässt, dürfte es mit ziemlicher Sicherheit nicht geben. Bei deiner Form ist der Testaufwand aber gut eingrenzbar.

Die Form



ist positiv definit, kann also eh nur nicht-negative z darstellen.

Es gilt:



Deshalb kann man beim Testen o.B.d.A. x >= 0 annehmen. Außerdem zeigt man leicht:



Das ergibt als Obergrenze für x:



Man muss also für einen begrenzten Bereich von x testen, ob das dazugehörige y (Lösung der quadratischen Gleichung für y) ganzzahlig ist. Das erledigt ein kleines Programm problemlos.
Iridium Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Binäre quadratische Form
Danke schonmal für die Anregungen.

Eine Idee von mir war, ob es vielleicht möglich ist, da die erwähnte quadratische Form mit Untergittern des hexagonalen Gitters in Zusammenhang gebracht werden kann, eine Beziehung zu den Dreiecks- oder Sechseckszahlen herzustellen und damit das Problem auf die schon beschriebene Prüfung auf Dreiecks-/Sechseckszahlen zurückzuführen? Für einen bestimmten Teil der Untergitter funktioniert das auch, ich bin mir bloß nicht ganz sicher, wie viele Einzelfälle man berücksichtigen müßte, um auf diese Weise jede durch die quadratische Form darstellbare Zahl zu erfassen. Möglicherweise sind es aber so viele, daß man eben auch wieder mit einer Analyse der Primfaktorzerlegung von schneller ist. Ich suche aber nach einer Methode, die auch für sehr große Zahlen hinreichend praktikabel umzusetzen ist. Na ja, mal schauen.
Olrik Breckoff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Binäre quadratische Form
Hi Iridium,

zwei Jahre später noch ne Antwort! ;-)

Welche Primzahlen sich in dieser Form beschreiben lassen ist bekannt, schau dir dafür die Eisensteinzahlen an.

siehe http://mathworld.wolfram.com/EisensteinInteger.html

"...These are precisely the primes of the form n^2+3m^2".

Beachte vielleicht noch die verallgemeinerte Formel von Brahmagupta-Fibonaccii und/oder deren Umkehrung:

(x^2+3y^2)(u^2+3v^2)=(xu-3yv)^2+3(xv+yu)^2

Zu zeigen ob und inwiefern Zahlen der Form x^2+3y^2 auch von der Form x^2-xy+y^2 sind - wenn es sich um keine besagten Primzahlen handelt - bleibt nun dir überlassen.

Beachte dafür vielleicht dass der Ring |Z[w] im Körper |Q(sqrt(-3)) enthalten ist.
w sei eine dritte Einheitswurzel. |Z[w] ist übrigends Ganzheitsring von |Q(w). Ein Beweis dafür findet sich in jedem Buch über Kreisteilungskörper.

MfG Olrik
 
 
Iridium Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Hinweis. Schaue ich mir bei Gelegenheit mal an. Hatte inzwischen auch eine alternative Testmöglichkeit gefunden, alternativ im Sinne einer Primzahlzerlegung, aber es gibt glaube ich keine einfache Möglichkeit, die ohne vorherige Primzahlzerlegung auskommt?

Gruß
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »