Umkreismittelpunkt - Berechnung

04.08.2008, 17:29

petit

Umkreismittelpunkt - Berechnung

Hallo,

in meinem Mathe buch (LS11 BaWü) seite 77 ist folgende Aufgabe:

Gegeben ist das Dreieck ABC mit A(-2/0) B(4/0) und C(0/4)
a)berechnen Sie die Koordinaten des Umkreismittelpunktes U des Dreiecks ABC. Welchen adius hat der Umkreis.

Mein lösungsansatz war:

U ist der schnittpunkt der Mittelsenkrechten von 2 seiten.
Also berechne ich M von ab und BC ,
dh M(ab)=(1/0)
M(BC)=(2/2)

da die Mittelsenkrechte orthogonal zu der jeweiligen seite ist gilt m1*m2=-1

für BC habe ich die richtige lösung gefunden, jedoch AB habe ich den ansatz
BC ist das ergebnis x=y

AB bekomme ich y=0 , jedoch muss die lösung x=1 heißen ( nach meinem buch und auch logik, da die mittelsenkrechte von AB parallel zur y achse ist.

wie komme ich auf die lösung x=1 ?
über die formel m1*m2=-1 komme ich auf kein ergebnis, da ja dort steht 0*m2=-1,
dies gilt für alle reellen Zahlen m2.....

danke für ansätze oder lösungshinweise .....

04.08.2008, 17:41

riwe

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RE: Umkreismittelpinkt berechnung Koordinatensystem

Zitat:

Original von petit
Hallo,

in meinem Mathe buch (LS11 BaWü) seite 77 ist folgende Aufgabe:

Gegeben ist das Dreieck ABC mit A(-2/0) B(4/0) und C(0/4)
a)berechnen Sie die Koordinaten des Umkreismittelpunktes U des Dreiecks ABC. Welchen adius hat der Umkreis.

Mein lösungsansatz war:

U ist der schnittpunkt der Mittelsenkrechten von 2 seiten.
Also berechne ich M von ab und BC ,
dh M(ab)=(1/0)
M(BC)=(2/2)

da die Mittelsenkrechte orthogonal zu der jeweiligen seite ist gilt m1*m2=-1

für BC habe ich die richtige lösung gefunden, jedoch AB habe ich den ansatz
BC ist das ergebnis x=y

AB bekomme ich y=0 , jedoch muss die lösung x=1 heißen ( nach meinem buch und auch logik, da die mittelsenkrechte von AB parallel zur y achse ist.

wie komme ich auf die lösung x=1 ?
über die formel m1*m2=-1 komme ich auf kein ergebnis, da ja dort steht 0*m2=-1,
dies gilt für alle reellen Zahlen m2.....

danke für ansätze oder lösungshinweise .....

doch kommst du schon, $\begin{eqnarray*} tan\frac{\pi}{2}=\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m_{\perp} =- \frac{1}{0} \end{eqnarray*}$
woraus folgt: g steht senkrecht auf die x-achse, also lautet die gerade x = 1

im zweifel nimm eine andere seite unglücklich

04.08.2008, 20:50

riwe

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RE: Umkreismittelpinkt berechnung Koordinatensystem
du kannst dem problem auch rein vektoriell aus dem weg gehen:

(1) $\begin{eqnarray*} (\vec{u}-\vec{m}_{AB})\cdot \vec{c}=0 \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} (\vec{u}-\vec{m}_{AC})\cdot \vec{b}=0 \end{eqnarray*}$

(1) führt sofort auf $\begin{eqnarray*} u_x = 1 \end{eqnarray*}$

und damit $\begin{eqnarray*} U(1/1) \end{eqnarray*}$

04.08.2008, 22:40

petit

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hmm ja ich habs mit einer anderen Seite raus, aber würd emich trotzdem interessieren, wie man darauf kommt =)

@riwe,
leider habe ich vektorrechnung noch nicht behandelt,

und was genau ist die andere Formel die du verwendest? dann google ich einfach mal ein bisschen rum =)

05.08.2008, 11:23

riwe

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Zitat:

Original von petit
hmm ja ich habs mit einer anderen Seite raus, aber würd emich trotzdem interessieren, wie man darauf kommt =)

@riwe,
leider habe ich vektorrechnung noch nicht behandelt,

und was genau ist die andere Formel die du verwendest? dann google ich einfach mal ein bisschen rum =)

welche andere formel verwirrt

du hast doch

$\begin{eqnarray*} m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m\cdot m_{\perp}=-1\to m_{\perp}=-\frac{1}{0}\to \alpha=\frac{3\pi}{2}\quad{ }\text{bzw.}\quad{ }\alpha=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

05.08.2008, 14:18

TheWitch

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Man kann auch mit Kanonen nach Spatzen schießen. Aus den Koordinaten von A und B ergibt sich sofort, dass [AB] auf der x-Achse liegt. Daraus wiederum folgt, dass die Mittelsenkrechte eine Parallele zur y-Achse durch den Mittelpunkt von [AB] sein muss, d. h. die Form $\begin{eqnarray*} x = x_{M_{AB}} \end{eqnarray*}$ haben muss. Mit $\begin{eqnarray*} x_{M_{AB}} = 1 \end{eqnarray*}$ folgt direkt: x = 1

05.08.2008, 14:22

riwe

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Zitat:

Original von TheWitch
Man kann auch mit Kanonen nach Spatzen schießen. Aus den Koordinaten von A und B ergibt sich sofort, dass [AB] auf der x-Achse liegt. Daraus wiederum folgt, dass die Mittelsenkrechte eine Parallele zur y-Achse durch den Mittelpunkt von [AB] sein muss, d. h. die Form $\begin{eqnarray*} x = x_{M_{AB}} \end{eqnarray*}$ haben muss. Mit $\begin{eqnarray*} x_{M_{AB}} = 1 \end{eqnarray*}$ folgt direkt: x = 1

das wissen aber nur du und ich (und viele andere),
nicht klar aber war/ist es petit unglücklich

soweit zu den kanonen

05.08.2008, 19:15

petit

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@ the witch wenn es mir klar wäre würde ich ja nicht fragen, es mag für leute die mathe verstehen klar sein, aber für leute wie mich eben nicht..

@riwe, ist es nicht so ( zumindest nach dem was mir bis jetzt gesagt wurde lol ) dass man nicht durch 0 teilen kann bzw darf? und wie kommst du auf alpha?

habe mal das schaubild gezeichnet, jetzt ist es mir klar, dass das sein muss habs eben nicht auf den ersten blick gesehen...

bitte nicht verzweifeln =P bin einfach etwas schwer von begriff wenns um mathe geht haha

aber danke für die antworten =)

05.08.2008, 19:26

riwe

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Zitat:

Original von petit
@ the witch wenn es mir klar wäre würde ich ja nicht fragen, es mag für leute die mathe verstehen klar sein, aber für leute wie mich eben nicht..

@riwe, ist es nicht so ( zumindest nach dem was mir bis jetzt gesagt wurde lol ) dass man nicht durch 0 teilen kann bzw darf? und wie kommst du auf alpha?

habe mal das schaubild gezeichnet, jetzt ist es mir klar, dass das sein muss habs eben nicht auf den ersten blick gesehen...

bitte nicht verzweifeln =P bin einfach etwas schwer von begriff wenns um mathe geht haha

aber danke für die antworten =)

natürlich darf man nicht so einfach durch null dividieren sondern muß da den grenzwert bilden, und das läuft dann auf (salopp - ich bin auch nur ein amateur)

$\begin{eqnarray*} tan\alpha=\frac{1}{0}=\infty \end{eqnarray*}$ hinaus.

ja und dann muß man halt die tangensfunktion anschauen

$\begin{eqnarray*} tan\frac{\pi}{2}=\infty \end{eqnarray*}$

(mit der periodenlänge $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ )

womit m,an wieder bei einer zur x-achse senkrechten geraden landet.

05.08.2008, 20:11

Poff

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Eine 'andere' Variante, du löst das System:

K1: (-2-x)^2 + (-y)^2 = r^2
K2: (4-x)^2 + (-y)^2 = r^2
K3: (-x)^2 + (4-y)^2 = r^2

Sieht schwieriger aus als es ist.
Dem hier ist das andere Prob. egal und letztlich rechnest dort auch nichts anderes.

02.05.2014, 21:27

XvitusX

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RE: Umkreismittelpunkt - Berechnung
Hatte ein Schulprojekt und hab mir da gleich mal eine allgemeine Formel zusammengestellt Augenzwinkern

wenn wir 3 Eckpunktkoordinaten gegeben haben, wie hier:
Ax(0);Ay(0)
Bx(2);By(0)
Cx(1);Cy(1)

müsst ihr sie nur noch in diese zwei zusammengefassten Formlen einsetzen:

Umx = (((Cy - By) * ((Cx - Ax) *((Ax + Cx) /2) + (Cy - Ay) * ((Ay + Cy) * 0.5))) - ((Cy - By) * ((Cx - Bx) * ((Bx + Cx) /2) + (Cy - By) * ((By + Cy) /2)))) / ((Cx - Ax) * (Cy - By) - (Cy - Ay) * (Cx - Bx));

Umy = (((Cx - Ax) * ((Cx - Bx) *((Bx + Cx) /2) + (Cy - By) * ((By + Cy) /2))) - ((Cx - Bx) * ((Cx - Ax) * ((Ax + Cx) /2) + (Cy - Ay) * ((Ay + Cy) * 0.5)))) / ((Cx - Ax) * (Cy - By) - (Cy - Ay) * (Cx - Bx));

wenn du dann deine Eckpunkte angegeben hast musst du eigentlich deine Angaben nur noch in die Fertigen Formeln einsetzen Freude

Ich weiß es ist ne lange aber immer noch besser als selbst dahinter zu kommen ;DD

Hab sie nur online gestellt, weil ich eigentlich auch auf der suche nach so einer "Fertig-Formel" war und sie nirgends fand böse

PS.: hab die Koordinaten von 2 Seitenmittelpunkten berechnet, anschließend zwei Vektoren errechnet, dann in die Lineare Gleichungsformel y=kx+d eingesetzt und mit der Matrix ausgerechnet und zusammengefasst :P

Puhhh das wars hoffe ich war eine Hilfe Wink

03.05.2014, 01:05

Dopap

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ab einer gewissen Komplexität bringen solche Formeln nix mehr. Zu viele Schreibfehler etc. Selbst beim Programmieren würde ich die Lösung dynamisch nachbilden.

Und wie schaut die Formel im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ( Raum ) aus ?

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