Auffrischung Log(n)

05.08.2008, 12:22

Wurstwasser

Auffrischung Log(n)

Hallo,

einfache Ungleichung gilt es nach n aufzulösen, Log ist hier zur Basis 2. Ich fürchte, ich muß mal Expontential/Logarithmuswissen auffrischen Augenzwinkern

:

4n² > 16n * log(n) <=>
n² > 4n* log(n)

Na ja, und ich kann nun durch n² teilen, habe dann rechts n im Nenner stehen und im Zähler 4*log(n), das nützt mir ja alles nicht. Irgendwie muss ich das Log(n) da wegbekommen, wie ist der Ansatz?

Danke im Voraus smile

05.08.2008, 12:24

Mathespezialschüler

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Das wirst du algebraisch kaum nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ auflösen können, sondern wohl nur numerisch.

05.08.2008, 12:28

Wurstwasser

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Du meinst, ich bin im falschen Forum? Ja sorry, ist mir auch gerade aufgefallen.

05.08.2008, 12:29

Mathespezialschüler

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Ich meine, dass du durch Umformungen nicht zum Ziel kommen wirst. Ich weiß ja nicht, was du ursprünglich wolltest, aber ich dachte eigentlich, dass du die Ungleichung durch algebraische Umformungen nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ auflösen wolltest. Und ich wollte jetzt nur darauf hinweisen, dass das wohl nicht funktionieren wird.

05.08.2008, 16:18

tmo

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Ist n natürlich? Dann könnte man ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ (nicht die 1 Augenzwinkern

) suchen ab dem die Ungleichung gilt und zeigen, dass es für alle $\begin{eqnarray*} n \geq n_0 \end{eqnarray*}$ gilt.

05.08.2008, 16:37

Zahlenschubser

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Nur eine Idee,

Wenn du am Anfang beide Seiten durch den positiven Ausdruck $\begin{eqnarray*} 16n^2 \end{eqnarray*}$ dividierst, steht dort:

$\begin{eqnarray*} 1/4 > 1/n \cdot \log_2n \end{eqnarray*}$

Oder auch, wegen $\begin{eqnarray*} \log_2n=\ln n/\ln 2 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} 1/4 > 1/n \cdot (\ln n/\ln 2) \end{eqnarray*}$

Daraus machen wir:

$\begin{eqnarray*} 1/4 \cdot \ln 2 > 1/n \cdot \ln n \end{eqnarray*}$

Und schreiben das ganze als:

$\begin{eqnarray*} 1/4 \cdot \ln 2 > (\ln n)^\prime \cdot \ln n \end{eqnarray*}$

Als Gleichung interpretiert (für den Übergangsmoment) ergibt sich die Differentialgleichung:

$\begin{eqnarray*} \ln n = \frac{1/4 \cdot \ln 2}{(\ln n)^\prime} \end{eqnarray*}$

Was man daraus machen kann (oder auch nicht) übersteigt aber meine Mathekenntnisse...

05.08.2008, 17:24

Wurstwasser

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Zitat:

Original von tmoIst n natürlich? Dann könnte man ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ (nicht die 1 Augenzwinkern

) suchen ab dem die Ungleichung gilt und zeigen, dass es für alle $\begin{eqnarray*} n \geq n_0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Ich hätte gar nicht geahnt, dass das schwer zu lösen ist.
Ja, n ist natürlich. Die Ungleichung stimmt ab einem $\begin{eqnarray*} n_0=17 \end{eqnarray*}$ . Klingt nach Induktionsbeweis, oder?
@Zahlenschubser: Also da komme ich auch nicht mehr weiter smile

06.08.2008, 10:42

klarsoweit

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Man kann alles komplizierter machen, als es eigentlich ist.

Aus $\begin{eqnarray*} 2^n \geq n^4 \end{eqnarray*}$ für n >= 16 folgt $\begin{eqnarray*} n \geq log_2(n^4) = 4 \cdot log_2(n) \end{eqnarray*}$ .

Der Rest ist dann klar. smile

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