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08.08.2008, 11:35

Romaxx

Prim

Hallo,

ich habe ein kleines Definitionsproblem von Prim.
In meinem Script wird Primelement (1) und Primideal (2) wie folgt definiert:

Sei R kommutativer Ring mit Eins.

(1) $\begin{eqnarray*} 0\neq a\in R \end{eqnarray*}$ heißt Primelement, falls $\begin{eqnarray*} aR \end{eqnarray*}$ Primideal ist, d.h. ist $\begin{eqnarray*} a|xy \end{eqnarray*}$ so folgt $\begin{eqnarray*} a|x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a|y \end{eqnarray*}$ .

(2) Sei $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ Ideal von $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ . Dann heißt $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ Primideal , falls gilt:
Sind $\begin{eqnarray*} x, y \in R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} xy \in P \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} x \in P \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y \in P \end{eqnarray*}$ .

In verschiedener Literatur wird darüberhinaus noch für (1) a keine Einheit und für (2) P echte Teilmenge gefordert.

Was ist nun die richtige Definition?

Gruß

08.08.2008, 11:46

therisen

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RE: Prim

Zitat:

Original von Roman Föll
In verschiedener Literatur wird darüberhinaus noch für (1) a keine Einheit und für (2) P echte Teilmenge gefordert.

So kenne ich es auch.

Zitat:

Original von Roman Föll
Was ist nun die richtige Definition?

Definitionen können nicht richtig oder falsch sein. Man sollte nur bei jedem Buch über Algebra, das man liest, die Definitionen, die anfangs i.a. aufgelistet werden, überfliegen und im Hinterkopf behalten. Sonst kann man ganz schön durcheinander geraten.

08.08.2008, 11:50

kiste

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Hallo,

zunächst einmal sind Definitionen nie richtig oder falsch, es sind einfach Definitionen. Je nach Prof. kann das durchaus varieren. Eine Nachfrage bei deinem Prof. wäre wohl am besten.

Ich kenne die Definition eines Primelements mit nicht-Einheiten. Macht auch die eindeutige Primfaktorzerlegung in faktoriellen Ringen sinnvoller Augenzwinkern

.

Primideale kenne ich sowohl echt als auch "nicht-echt".
Echte Primideale sind meiner Meinung nach aber sinnvoller Big Laugh

08.08.2008, 12:04

Romaxx

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Ja, das mit den Definitionen, richtig oder falsch, ist mir klar.
Mich macht es eben stutzig, denn gleich darauf folgt der Satz "Sei $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ Integritätsbereich und sei $\begin{eqnarray*} p \in R \end{eqnarray*}$ Primelement. Dann ist $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ irreduzibel", mit Beweis.
Das würde aber im oberen Falle und der Definition von irreduzibel in unserem Script nicht mehr zutreffen, da es Primelemente gibt, welche Einheiten sind.

Ich stell mal schnell den Beweis (1) und die Defintion von irreduzibel (2) rein, vielleicht hab ich auch etwas übersehen:

(1) Sei $\begin{eqnarray*} p=xy \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x, y \in R \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} p=xy \end{eqnarray*}$ ein Teiler von $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ und daher $\begin{eqnarray*} p|x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} p|y \end{eqnarray*}$ , o.B.d.A.
$\begin{eqnarray*} p|x \end{eqnarray*}$ . Also gibt es $\begin{eqnarray*} a \in R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} pa=x \end{eqnarray*}$ und daher $\begin{eqnarray*} p=xy=pay \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt $\begin{eqnarray*} p(1-ay)=0 \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} p\neq 0 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ nullteilerfrei ist, ist $\begin{eqnarray*} 1-ay=0 \end{eqnarray*}$ und daher $\begin{eqnarray*} ay=1 \end{eqnarray*}$ . Also ist $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ Einheit und $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ist irreduzibel.

(2) Sei $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ kommutativer Ring mit Eins.
$\begin{eqnarray*} 0\neq a\in R \end{eqnarray*}$ heißt irreduzibel , falls $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ keine Einheit ist und gilt: Ist $\begin{eqnarray*} a=xy \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x, y \in R \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ Einheit oder
$\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ Einheit.

Gruß

08.08.2008, 23:30

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Hallo,
Primelemente die Einheiten sind, machen keinen wirklichen Sinn.

Du hättest dann z.B. Probleme bei faktoriellen Ringen, dort lässt sich jede Zahl in endlich viele Primfaktoren zerlegen, die bis auf assoziiertheit und Reihnfolge gleich sind.

Nach eurer Def. wäre 1 ein Primelement, da (1) = R ein Primideal wäre.
Nun hätte aber keine Zahl mehr eine endliche Zerlegung in Primfaktoren mehr, da man unendlich oft die 1 vorkommen könnte.

Man müsste also alle weiteren Definitionen anpassen.

Einfach mal den Dozenten ansprechen, ob er einen Fehler gemacht hat (bei der Def.)

PS: Ein möglicher Ausweg, der aber unwahrscheinlich ist, dass ihr sagt, dass Ideale echte Teilmengen sein müssen.
So würde das mit Primelementen wieder passen (zumindestens der erste Teil, das mit a|xy => a|x oder a|y aber nicht mehr).

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