Herleitung für Normale einer Ebene (Ax+By+Cy+D = 0; N = (A,B,C))

09.08.2008, 15:12

Xavyre Wryn

Herleitung für Normale einer Ebene (Ax+By+Cy+D = 0; N = (A,B,C))

Hallo alle zusammen,

bei wikipedia, aber auch in meinem "Taschenbuch" der Mathematik finde ich für die Normale auf eine Ebene, welche in der Komponentenschreibweise gegeben ist, folgenden Vektor:

E: Ax + BY + Cz + D = 0
N: (A,B,C)

Grafisch macht das Sinn, aber dann habe ich versucht dass mit der Berechnung der Normale über das Skalarpodukt herzuleiten, aber entweder ich mache einen komischen Fehler, oder mir fehlt am Schluss ein entscheidender Zusammenhang:

$\begin{eqnarray*} \vec u = \overline{AB} = \begin{pmatrix}-A\\B\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec v = \overline{BC} = \begin{pmatrix}0\\-B\\C\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec u \times \vec v = \begin{pmatrix}B \cdot C\\ C \cdot A \\ A \cdot B \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist jetzt $\begin{eqnarray*} C \cdot B = A \end{eqnarray*}$ ? Nur wenn ja, wie kommt man darauf, das D bleibt dann ja irgendwie unbetrachtet...?

Danke für eure Samstagszeit,

Xavyre Wryn

09.08.2008, 17:31

Romaxx

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Hallo,

Was sind das für Vektoren und wie kommt die Umformung zustande?

$\begin{eqnarray*} \vec u = \overline{AB} = \begin{pmatrix}-A\\B\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec v = \overline{BC} = \begin{pmatrix}0\\-B\\C\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gruß

09.08.2008, 17:40

riwe

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RE: Herleitung für Normale einer Ebene (Ax+By+Cy+D = 0; N = (A,B,C))

Zitat:

Original von Xavyre Wryn
Hallo alle zusammen,

bei wikipedia, aber auch in meinem "Taschenbuch" der Mathematik finde ich für die Normale auf eine Ebene, welche in der Komponentenschreibweise gegeben ist, folgenden Vektor:

E: Ax + BY + Cz + D = 0
N: (A,B,C)

bis hierher stimmt es
der rest ist plunder smile

A , B und C sind doch keine punkte bzw. deren ortsvektoren sondern komponenten des normalenvektors.

daher liegen weder u noch v in E,( abgesehen von der merkwürdigen notation)
soferne nicht gilt A=B=C, dann stimmt auch das kreuzprodukt und BC = A Freude

Zitat:

Original von Xavyre Wryn
Grafisch macht das Sinn, aber dann habe ich versucht dass mit der Berechnung der Normale über das Skalarpodukt herzuleiten, aber entweder ich mache einen komischen Fehler, oder mir fehlt am Schluss ein entscheidender Zusammenhang:

$\begin{eqnarray*} \vec u = \overline{AB} = \begin{pmatrix}-A\\B\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec v = \overline{BC} = \begin{pmatrix}0\\-B\\C\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec u \times \vec v = \begin{pmatrix}B \cdot C\\ C \cdot A \\ A \cdot B \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist jetzt $\begin{eqnarray*} C \cdot B = A \end{eqnarray*}$ ? Nur wenn ja, wie kommt man darauf, das D bleibt dann ja irgendwie unbetrachtet...?

Danke für eure Samstagszeit,

Xavyre Wryn

09.08.2008, 17:41

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Vielleicht solltest du mal detaillierter beschreiben, was du hier

Zitat:

Original von Xavyre Wryn
aber dann habe ich versucht dass mit der Berechnung der Normale über das Skalarpodukt herzuleiten

genau gemacht hast, und wieso? Die bisherigen Ausführungen ergeben nämlich keinen klaren Sinn. verwirrt

09.08.2008, 19:18

Xavyre Wryn

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Hallo alle zusammen,

ich versuche es nochmal etwas eindeutiger...

Nochmal der Anfang:

E: $\begin{eqnarray*} Ax + By + Cz +D = 0 \end{eqnarray*}$
N: $\begin{eqnarray*} \vec n = \begin{pmatrix}A\\B\\C\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun habe ich um den Skalaransatz verfolgen zu können (für den ich Vektoren brauche) versucht allgemeine Vektoren zu finden, welche die Ebene E beschreiben. Dafür habe ich mir 3 Punkte gesucht die auf jeden Fall auf der Ebene E liegen sollten:

$\begin{eqnarray*} P_a = \begin{pmatrix}A\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P_b = \begin{pmatrix}0\\B\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P_c = \begin{pmatrix}0\\0\\C\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die beiden Vektoren:

$\begin{eqnarray*} \vec v_{ab} = \vec u =\overline{\begin{pmatrix}A\\0\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\B\\0\end{pmatrix}} = \begin{pmatrix}-A\\B\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec v_{bc} = \vec v = \overline{\begin{pmatrix}0\\B\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\C\end{pmatrix}} = \begin{pmatrix}0\\-B\\C\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aus den beiden Vektoren habe ich das Skalarprodukt gebildet:

$\begin{eqnarray*} \vec v_{ab} \times \vec v_{bc} = \vec u \times \vec v = \begin{pmatrix}B \cdot C\\ C \cdot A \\ A \cdot B \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da bin ich nun und weiß nicht ob $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}B \cdot C\\ C \cdot A \\ A \cdot B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A\\B\\ C\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wahr ist, und wenn ja wieso.+

Grüße,

Xayvre Wryn

P.S.: Auch wenn mein Ansatz Mist ist, wäre ich für eine mathematische Begründung für die Normale $\begin{eqnarray*} \vec n \end{eqnarray*}$ sehr dankbar...

09.08.2008, 19:34

Rare676

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Zitat:

Aus den beiden Vektoren habe ich das Skalarprodukt gebildet:

Das Skalarprodukt 2er Vektoren ist eine reele zahl. Die seh ich da bei dir nicht.

Du benutzt wohl eher das Kreuzprodukt.

09.08.2008, 19:51

Xavyre Wryn

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stimmt, ich verwechsle die beiden Begriff ständig... tut mir leid.

09.08.2008, 20:02

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Wie kommst du darauf, dass deine drei Punkte $\begin{eqnarray*} P_a,P_b,P_c \end{eqnarray*}$ in der fraglichen Ebene liegen? Das ist i.a. falsch - setz doch mal ein, dann siehst du es.

09.08.2008, 20:15

Xavyre Wryn

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wer den vorigen Beitrag gelsen hat, bitte vergessen Augenzwinkern

ich denke morgen weiter.. danke schonmal für die Hilfe

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