Affine Geraden

11.05.2006, 10:04

DiegoM

Affine Geraden

Hallo alle zusammen!Bin das erste mal hier!
Also ich bin Mathestudent und höre im Moment Geometrie,komme aber mit unserem derzeitigen Übungsblatt nicht zurande

Folgende Aufgabe:
Zeige:
Zu $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb R ² \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x\neq y \end{eqnarray*}$ gibt es genau eine affine Gerade l mit $\begin{eqnarray*} x,y\in l \end{eqnarray*}$

also als einzigsten ansatz habe ich:
ax1+bx2=r
ay1+by2=r

Wäre für jeden Tipp dankbar.

In den darauffolgenden Aufgaben sollen wir beweisen, dass es 3 Punkte gibt, die nicht auf einer affinen Geradenliegen, dass es zu jeder Geraden durch einen Punkt einen parallele Gerade gibt und die 4. Aufgabe hat dann was mit Parametrisierungen zu tun.

MFG

Diego

11.05.2006, 10:13

DiegoM

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oder hätte das in einen anderen bereich gemusst? dann bitte verschieben

diego

11.05.2006, 11:35

JochenX

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Gib da mal euer Definitionen durch, also was genau ist eine "affine Gerade" usf.
Wie habt ihr bislang affine Geraden dargestellt?

an und für sich sie das anschaulich ja Trivialitäten, die es leider noch zu beweisen gilt. Augenzwinkern

11.05.2006, 15:06

DiegoM

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anschaulich ist das alles auch klar...
haben bisher in der vorlesung gar nichts dazu gemacht,nur aufm übungszettel bisher

die definition lautet:
Eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} l\in \mathbb R² \end{eqnarray*}$ heißt affine Gerade, falls es reelle Zahlen a,b,r mit $\begin{eqnarray*} (a,b)\neq (0,0) \end{eqnarray*}$ gibt,so dass $\begin{eqnarray*} l={{(x,y):ax+by=r}} \end{eqnarray*}$ ist.

11.05.2006, 15:09

DiegoM

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da fehlen noch die mengenklammern,die kann ich aber nich mehr da hinmachen irgendwie traurig

11.05.2006, 16:04

JochenX

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Mengenklammern mit \ davor: also \{ oder \}

Zitat:

also als einzigsten ansatz habe ich:
ax1+bx2=r
ay1+by2=r

scheint doch schon mal gar nicht schlecht, das ist ja die Aussage, dass x=(x1,x2) und y=(y1,y2) auf einer Gerade az1+bz2=r liegen sollen; beachte, dass die Gleichung der Gerade nicht eindeutig ist, sondern mit skalaren gestreckt werden kann.

Du könntest also 2 Fälle unterscheiden:
r=0 oder r=1, womit alle anderen Fälle r<>0 abgedeckt wären.
Damit liegt nun ein Gleichungssystem nach a und b vor, was weißt du über die Lösbarkeit von solchen Gleichungssystemen, wenn die Koeffizientenmatrix Determinante 0 hat (bzw. anders gesagt: wenn die Koeffizienten vielfache voneinander sind)?

11.05.2006, 16:20

DiegoM

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wieso r= 1 oder r= 0 ?

11.05.2006, 16:24

Leopold

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Verwende dein Schulwissen. Das ist ja nichts anderes als die Normalenform einer Geraden. Etwas aufpassen mußt du mit den Bezeichnungen. In der Aufgabe sind $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ Elemente des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ , in der Definition der affinen Geraden aber sind $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ Skalare, nämlich die Koordinaten eines Punktes. Um da keine Verwirrung zu verursachen, nenne ich diese Koordinaten $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ . Es sind daher $\begin{eqnarray*} a,b,r \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, so daß die Gleichung $\begin{eqnarray*} au+bv = r \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} u = x_1, v = x_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u = y_1 , v = y_2 \end{eqnarray*}$ erfüllt wird.

1.
$\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ legen den Richtungsvektor $\begin{eqnarray*} y-x \end{eqnarray*}$ der Geraden fest.

2.
$\begin{eqnarray*} \left( y-x \right)^{\bot} \end{eqnarray*}$ ist ein Normalenvektor der Geraden. (Hinweis: $\begin{eqnarray*} z^{\bot} \end{eqnarray*}$ entsteht aus $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ durch Vertauschen der Koordinaten und Vorzeichenänderung in der ersten Koordinate. Das Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} z \cdot z^{\bot} \end{eqnarray*}$ ist offensichtlich 0.)

3.
$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ (oder $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ) ist ein Punkt (genauer Ortsvektor eines Punktes) der Geraden.

Jetzt kannst du in bekannter Manier die Normalenform aufstellen, nach Definition des Skalarproduktes alles auf eine skalare Form bringen und $\begin{eqnarray*} a,b,r \end{eqnarray*}$ ablesen.

Bei der Präsentation der Lösung kannst du ja die Herleitung unterschlagen. Gib einfach die fertige Form an und weise nach, daß sie allen Anforderungen genügt. Es braucht ja niemand zu wissen, wie du darauf gekommen bist ...

11.05.2006, 16:36

DiegoM

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normalenform bei geraden?ist das so wie bei ebenen ja?

schulwissen,das is so lange her Augenzwinkern

aber zeige ich so,dass es NUR eine gerade gibt?

11.05.2006, 16:40

Leopold

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Die Normalenform einer Geraden im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ sieht formal genau so aus wie die Normalenform einer Ebene im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ .

Du hast allerdings recht - da ist zuerst einmal nur die Existenz erledigt. Um die Eindeutigkeit mußt du dich also noch kümmern.

11.05.2006, 16:47

DiegoM

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hmhm, ich versuche mal irgendwas in richtung "alle normalenvektoren sind linear abhängig" oder so zu zeigen

11.05.2006, 16:59

DiegoM

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hm,komme ich irgendwie nicht weiter...und von den folgeaufgaben ganz zu schweigen...wahrscheinlich ist das alles nur ne simple sachen,die mit schulmathematik zu tun hat und man denkt zu kompliziert...

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