Lineare Algebra |
| 11.05.2006, 15:01 | Lord Pünktchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Lineare Algebra ich hab keine Ahnung, wie ich die beiden Aufgaben lösen soll, also bin ich für jeden Ansatz dankbar. 
1.Sei K ein Körper mit Mächtigkeit q<unendlich, so ist jede Abbildung f:K->K als Polynomfunktion mit einem polynom aus darstellen 2.Zeige, daß es zu Elementen b0,...,bn aus K stets genau eine Polynomfunktion mit grad n gibt, so daß g(ai)=bi für i=1,...,n. Ich komme nichteinmal auf einen Ansatz und verzweifle 
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| 11.05.2006, 17:23 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Lineare Algebra Erstmal eine Frage: was ist ? Soll das der Quotientenkörper des Polynomrings sein? Und was bedeutet dabei das q-1 ? Meine erste Idee ist das Lagrange'sche Interpolationspolynom (nach meinem derzeitigen Aufgabenverständnis). Funktioniert das hier? Grüße Abakus 
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| 11.05.2006, 18:23 | ... | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Lineare Algebra q-1 steht eigentlich im Index, d.h. der Rang der Polynome ist <=q-1. und deine vermutung, daß K[x] der Quotientenkörper ist, stimmt. Allerdings hab ich keine Ahnung, was das Lagrange'sche Interpolationspolynom sein soll. Aber danke für den tipp, ich schau mal bei wikipedia vorbei |
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| 11.05.2006, 20:04 | Lord Pünktchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Lineare Algebra ok ... die 2 hab ich mitlerweile gelöst. da pi i=0,...,n mit pi(aj)=1 für j=1, sonst 0, eine Basis von {x|grad(x)<=n x aus K[x]} bilden => mit gi:=bi*pi und g=Summe (i=0 bis n) gi daß g(ai)=bi Für jedes Polynom q mit grad <=n und q(ai)=bi folgt auf Grund der Interpolationseigenschaft, daß q=p. Stimmt das so??? Bei Aufgabe 1 hab ich mitlerweile einen Ansatz ... P.S. Danke für den Tipp 
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| 11.05.2006, 20:42 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Lineare Algebra
Es gibt also ein Polynom mit den verlangten Eigenschaften, ok. Wieso dies nun eindeutig ist (dh es gibt genau ein solches Polynom), sehe ich anhand deiner Argumentation noch nicht. Grüße Abakus
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| 12.05.2006, 00:48 | Lord P | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Lineare Algebra Wenn q ebenfalls die Bedingungen erfüllen würde, so gäbe es ein Polynom r:=q-p mit rang n und n+1 Nulstellen, da r(ai)=q(ai)-p(ai)=bi-bi=0 => r(x)=0 für alle x => q=p und zur 1. Für f:K->K existiert ein a aus K und ein Polynom mit Rang n-1 derart das f(x)=(x-a)*g(x)+f(a). Das ist allgemein aus Algebra I bekannt und daraus folgt das was zu zeigen war ... 
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