Punktbestimmung

11.05.2006, 16:45

Thor_says

Punktbestimmung

Hallo Community,
ich habe ein Problem mit einer Aufgabe in Vektorrechnung, mit der ich mich unter anderen auf eine Klausur vorbereiten wollte.
Hier die Aufgabenstellung:

Gegeben sind die Ebene IE: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ *skalarmultipliziert* $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ = 3

und die Gerade g: $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 11 \\ -15 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

a) Bestimme alle Punkte P, die auf g liegen und von IE den Abstand 6 haben. (Gerade verläuft nicht orthogonal zur Ebene)
b) Bestimme denjenigen Punkt Q aus IE, der vom Koordinatenursprung den minimalen Abstand hat. (Gerade verläuft nicht orthogonal zur Ebene)

Zu a) habe ich schon den vermutlich richtigen Schnittpunkt S(1|-1|-3) errechnet (habe also auch schon die Parameterdarstellung der Ebene).

Könnt ihr mir vielleicht helfen und mir sagen, wie man diese Aufgabe weiterbearbeiten muss? Ich habe schon länger darüber nachgedacht, aber mir ist nichts gescheites eingefallen. Ich denke nur, dass man irgendwie eine parallele Ebene zur Ausgangsebene erarbeiten muss, aber wie genau ist mir noch nicht klar. Vielen Dank im Vorraus,

Euer Thor smile

11.05.2006, 17:05

derkoch

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Zitat:

Original von Thor_says
Hallo Community,
ich habe ein Problem mit einer Aufgabe in Vektorrechnung, mit der ich mich unter anderen auf eine Klausur vorbereiten wollte.
Hier die Aufgabenstellung:

Gegeben sind die Ebene IE: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das ist mir neu, daß das eine Ebene darstellen soll!!?? verwirrt

hast du etwas unterschlagen?

11.05.2006, 17:26

riwe

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vermutlich soll es heißen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\vec{x}+1=0 \end{eqnarray*}$
werner

11.05.2006, 17:48

Thor_says

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So, tut mir leid. Ich habe nun die Aufgabe vervollständigt. Augenzwinkern

11.05.2006, 18:44

riwe

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a)schade mit 1 wäre es schöner gewesen, aber der weg: stelle die beiden zu E parallelen ebenen im abstand 6 auf und schneide sie mit g.
b) zu E senkrechte gerade usw.
werner

12.05.2006, 23:21

Thor_says

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Vielen Dank für die fixe Antwort. smile

Ich finde leider in meinen Unterlagen nicht die Methode erklärt, wie man denn genau jetzt eine parallele Ebene mit einem bestimmten Abstand erarbeitet. Könnt ihr mir da einen Anhaltspunkt geben?
Danke, Euer Thor Augenzwinkern

13.05.2006, 01:19

Bjoern1982

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Um eine Ebene in Normalenform zu bilden, benötigt man :

1. einen Normalenvektor
2. irgendeinen Punkt P, der in dieser Ebene liegt

Welcher Normalenvektor kommt dann wohl für eine parallele Ebene in Frage ?

Einen Punkt dieser parallelen Ebene bekommt man offensichtlich, wenn man von irgendeinem Punkt der gegebenen Ebene 6 Einheiten in Richtung des normierten Normalenvektors geht.

Ein normierter Normalenvektor hat nämlich die Länge 1, wenn man diesen also 6mal an einen Punkt der Ebene E dranhängt, ist man genau in der parallelen Ebene. Um einen solchen normierten Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n_0} \end{eqnarray*}$ zu erhalten, muss du den Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ der Ebene durch seine Länge, also $\begin{eqnarray*} |\vec{n}| \end{eqnarray*}$ dividieren.

Es gilt: $\begin{eqnarray*} \vec{n_0}= \frac{\vec{n} }{|\vec{n} |} \end{eqnarray*}$

Sei nun Q irgendein Punkt der gegebenen Ebene E, dann gilt für den gesuchten Punkt P der parallelen Ebene:

$\begin{eqnarray*} \vec{p}= \vec{q}\pm 6 \cdot \vec{n_0} \end{eqnarray*}$

Damit kannst du dann die Normalengleichungen der gesuchten parallelen Ebenen aufstellen und mit der Geraden g schneiden.

Gruß Björn

13.05.2006, 14:06

Thor_says

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Vielen Dank für diese ausführliche Antwort. Jetzt verstehe ich den Rechenweg. Manchmal ist die Lösung recht offensichtlich und es fällt mir trotzdem nicht auf. Augenzwinkern

Bis bald,
Euer Thor

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