Auf Konvergenz untersuchen |
| 11.05.2006, 20:10 | Diana | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Auf Konvergenz untersuchen ich habe folgende Aufgabe: Folge (an) soll auf Konvergenz untersucht werden. Die Folge sei per Induktion durch a0 := sqr(2) und a(n+1) := sqr((an)+2) definiert. Also ich weiß prinzipiell, wie ich die Konvergenz untersuche... Muss halt überprüfen, ob das Konvergenzkriterium erfüllt ist... Im Heuser steht dazu z.B. (an) konvergiert gegen a, wenn es zu jeder positiven Zahl E einen Index n0(E) gibt, so dass für alle n>n0(E) stets |an-a|<E (E = Epsilon) Ich weiß jetzt aber nicht, was überhaupt mein an ist...Wie komme ich über a0 bzw. an+1 auf an? Und wie steht es mit dem Epsilon und dem a? Ist das a aus dem Heuser mein a0? Bitte helft mir...ich komme nicht weiter |
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| 11.05.2006, 20:14 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Tipp: einen möglichen Grenzwert kannst du dadurch erraten, dass im Grenzfall n gegen unendlich a_(n+1)=a_n... Das könnte ein erster Schritt sein, eine Vermutung aufzustellen. |
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| 11.05.2006, 20:26 | Diana | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay, der Tipp war schonmal gut, ich hab dann lim sqr((an)+2) =an Aber wie komme ich jetzt weiter... Wie komme ich auf Epsilon? Was bringt mir das a0? |
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| 11.05.2006, 22:20 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hmmm, ohne Limes; sei a der Grenzwert, dann muss sein. und da fallen mir schon gar nicht mehr so viele ein..... |
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| 11.05.2006, 23:49 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
von Alg nach Ana verschoben |
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| 12.05.2006, 19:48 | Diana | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi, dann ist mein Grenzwert also a=-1. Stimmt das? Ich entsinne mich, dass ein Freund von mir da mal 2 rausgekriegt hat...erreich ihn aber net, damit er mir sagen kann, wie er das gemacht hat... Müsste das ganze jetzt noch beweisen... |
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| 13.05.2006, 15:49 | Diana | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Schade, dass ich keine Antwort mehr bekomme. Komme einfach nicht weiter. Wäre über Hilfe dankbar!!! |
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| 13.05.2006, 15:55 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein. Setz das doch mal in ein. Wie wäre es, wenn du diese Gleichung einfach mal nach a auflöst? 
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| 13.05.2006, 17:31 | Diana | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
einverstanden. Umgeformt, hab jetzt a=2 rausgekriegt. Das könnte jetzt stimmen...aber wie beweise ich das jetzt? |
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| 13.05.2006, 18:16 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
OK. Wir haben also jetzt folgendes: Wenn die Folge a_n konvergiert, dann gegen 2. Jetzt wäre noch zu zeigen, daß die Folge a_n tatsächlich konvergiert. Dazu hilft dir die Grenzwertdefinition nicht wirklich. Aber zum Glück gibt es diverse Grenzwertsätze. Einer lautet: Eine nach oben beschränkte monoton steigende Folge ist konvergent. Zeige also, daß die Folge monoton steigt und daß 2 eine obere Schranke ist. |
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| 13.05.2006, 20:01 | Diana | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau die Idee hatte ich auch. Ich weiß prinzipiell auch, wie ich das jeweils beweisen kann... Monotonie: Vermutung: Monoton wachsend; Voraussetzung: a(n)<= a(n+1) Was a(n+1) ist weiß ich ja. Aber was ist denn a(n)? Beschränktheit: Vermutung: es ex. ein supremum Voraussetzung: a(n+1)<=S Was bringt mir das? Wenn ich für S=2 einsetze komme ich auf a(n)+2 <= 4 ...was nichts beweist. |
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| 15.05.2006, 08:42 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hmm. Das ist nicht die Voraussetzung, sondern genau das ist zu zeigen.
Auch das ist wiederum nicht die Voraussetzung, sondern genau das ist zu zeigen, und zwar für S=2. Am besten zeigst du erstmal, daß 2 eine obere Schranke ist, daß also gilt: für alle n. Recht einfach geht das mit vollständiger Induktion. Bei der Monotonie ist die Ungleichung bzw. zu zeigen. Da a_n >= 0 ist, kannst du quadrieren und geeignet umformen. |
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