Basler Problem

11.08.2008, 17:29

basel

Basler Problem

Ich komme bei folgendem Zwischenschritt von Eulers Lösung des Basler Problems nicht weiter:
$\begin{eqnarray*} \frac{\sin(x)}{x} = \left(1 - \frac{x}{\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{3\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{3\pi}\right) \cdots \end{eqnarray*}$
Da die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} \frac{\sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$ ja $\begin{eqnarray*} x = n\cdot\pi ,~ n = \pm1, \pm2, \pm3, \dots\ \end{eqnarray*}$
müsste es doch $\begin{eqnarray*} \frac{\sin(x)}{x} = (x-\pi)(x+\pi)(x-2\pi)(x+2\pi)(x-3\pi)(x+3\pi)\dots \end{eqnarray*}$ sein.
Wo ist da jetzt mein Denkfehler?

11.08.2008, 17:35

Zizou66

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Wie kommst du denn auf diese Umformung?

11.08.2008, 17:37

basel

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Hat sich erledigt, hatte gerade einen Geistesblitz.
$\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{x}{\pi}\right) \end{eqnarray*}$ ist ja auch ein Linearfaktor mit pi als Nullstelle.
Also ist es egal, ob ich $\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{x}{\pi}\right) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \left(x-\pi\right) \end{eqnarray*}$ schreibe.
Hatte ich übrigens von hier: http://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem
Sorry, dass ich dafür extra nen Thread aufgemacht habe...

11.08.2008, 17:47

tmo

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Zitat:

Original von basel
Also ist es egal, ob ich $\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{x}{\pi}\right) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \left(x-\pi\right) \end{eqnarray*}$ schreibe.

Es ist keineswegs egal. Letzteres kann gar nicht sein, weil das im Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1 \end{eqnarray*}$ stünde.

11.08.2008, 18:28

basel

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Ok, das ist logisch.
Aber wie kommt man dann auf
$\begin{eqnarray*} \frac{\sin(x)}{x} = \left(1 - \frac{x}{\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{3\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{3\pi}\right) \cdots \end{eqnarray*}$ ?

11.08.2008, 19:10

tmo

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Steht doch in dem Link, den du geposted hast.

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