Unendlich viele Kugeln in einer Box []

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Kugelhaufen Auf diesen Beitrag antworten »
Unendlich viele Kugeln in einer Box []
Stellt euch vor, ihr habt unendlich viele Kugeln, die mit 1,2,3,... durchnummeriert sind. Die liegen alle in einer Box. Daneben stehen unendlich viele Boxen, in die je zwei Kugeln reinpassen.
Ihr nehmt eine Kugel nach der anderen aus der grossen Box und legt sie in die erste kleine Box. Wenn da schon eine drinliegt, nehmt ihr die Kugel mit der kleineren Nummer, und legt sie in die danebenliegende Box. Wenn da auch schon eine drinlag, nehmt ihr wieder die mit der kleineren Nummer und legt sie in die naechste Box, solange bis wieder in jeder kleinen Box nur noch eine Kugel ist.

Nachdem ihr das mit jeder Kugel der grossen Box gemacht habt, ist diese leer. Wo sind die Kugeln nun?
Die kleinen Boxen sind naemlich auch alle leer!

Sieht ein bisschen nach Rätsel aus, oder? Ich verschieb´s mal dahin. Ben
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Sicher sind die alle leer, was sollen sie auch sonst sein? Wenn noch in einer Box eine Kugel (sagen wir sie traegt die Nummer n) drin waere, dann haette es ja zu irgendeinem Zeitpunkt beim Kugelnverteilen keine Kugel mehr gegeben, die mit einer groesseren Zahl beschriftet ist als sie.

Wo sind die Kugeln? Na, wenn sie in keiner Box mehr sind, dann liegen sie hinter den Boxen am Boden, oder? Kannst ja mal nachgucken gehen. Augenzwinkern *ggg* Wir warten hier solange.
 
 
BlackJack Auf diesen Beitrag antworten »

naja, ich würde sagen die kugeln sind einfach auf der reise ins unendliche. Augenzwinkern
weil es kann ja immer wieder eine kugel gezogen werden, die grösser ist als alle anderen, und die die kleineren kugeln sozusagen weiter nach "hinten" ins unendliche rückt.

(ist son bisken wie das infinity hotel, oder?)
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Warum alle Boxen leer sind, wurde ja nun gesagt.
WO die Kugeln sind, ist noch unklar - dahinter sind sie sicher nicht, Irrlicht *g*

Was mich aber noch verwirrt ist folgendes:
Sobald die erste Kugel in die erste Box gelegt wird, gibt es bis zum Ende der "grossen Umverteilung" keinen Zeitpunkt, an dem die kleine Box leer ist. Die Anzahl der Kugeln in der Box pendelt zwischen 1 und 2, wird aber nie 0.
Warum ist sie hinterher gleich 0?

Gruss,
SirJective
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Aus genau demselben Grund warum der Depp seine Schildkroete nie erreicht obwohl wir wissen, dass er sie nach endlicher Zeit ueberholt, wuerde ich mal so spontan behaupten. Augenzwinkern

Vielleicht sollten wir mal Clark Kent bemuehen, dass er die Kugel fuer uns umverteilt und zwar so, dass er jede einzelne Umverteilung in der Haelfte der Zeit der letzten Umverteilung macht. Denn dann erleben wir den "Sprung" von 1 bzw. 2 auf 0 mit.

Und jaja, ich weiss schon, dass sie nicht dahinter liegen. Ich bin ja nicht bloed. Wollte nur gewitzt antworten. Big Laugh
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Ja wenn wir da zuschauen koennten...

Gibt's nicht irgendwo nen Supercomputer, der Endlosschleifen in 2 Sekunden abarbeiten kann? *g* Dem koennte man das als Programm geben.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht stehe ich ja auf dem Schlauch. Aber wenn ich den von Kugelhaufen beschriebenen Prozeß richtig verstanden habe, dann vermag ich nicht einzusehen, daß die Ausgangsbox leer ist. Meiner Meinung nach enthält die Box, in der alle Kugeln zu Anfang sind, zu jedem Zeitpunkt abzählbar unendlich viele Kugeln. Und von den anderen Boxen sind nur endlich viele belegt und unendlich viele leer. Wie irgendwann einmal alles leer sein soll, verstehe ich nicht. Bei mir verschwinden da auch keine Kugeln im mathematischen Nirwana ...
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Du stehst nicht auf dem Schlauch. Zu jedem Umfüll-Zeitpunkt ist deine Aussage völlig korrekt. Nur am Ende des ganzen Umfüllens (den wir eh nie miterleben würden, deshalb auch meine Clark-Kent-Anspielung) wären die Boxen alle leer.

Das ganze Problem liegt wieder einmal (wie schon bei der Schildkröte) darin, dass wir ein Denkmodell aufgestellt haben, welches wir so einfach nicht verlassen können, ohne unsere gesamte Anschauung über den Vorgang komplett über den Haufen schmeissen zu müssen. Die Zeit ist doch wirklich was Schönes.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gehe jetzt einmal ganz naiv an die Sache heran:
Wenn zu jedem endlichen Zeitpunkt die große Box abzählbar unendlich viele Kugeln enthält, enthält sie auch im Limes abzählbar unendlich viele Kugeln.
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Jedoch gibt es für jede einzelne Kugel einen Zeitpunkt, an dem sie aus der großen Box entnommen wird. Danach wird sie nicht in diese zurückgelegt. Also ist die große Box hinterher leer.

Dieses Beispiel zeigt uns, dass die Mächtigkeit von Mengen keine folgenstetige Abbildung ist. Das heißt, der Grenzwert der Mächtigkeiten ist tatsächlich unendlich, jedoch ist die Mächtigkeit der Grenzmenge gleich 0.

Da fällt mir ein ähnliches Beispiel ein. Naiv gedacht, würde man doch dann genauso sagen:
"Jeder Bruch 1/n ist grösser als Null. Als ist auch ihr Grenzwert grösser als Null."
Wir wissen, dass der Grenzwert gleich Null ist. Der Haken liegt hier ebenfalls daran, dass die Eigenschaft "grösser als Null sein" nicht stetig in der Null ist. smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Daß man mit dem Vertauschen von Grenzübergängen vorsichtig sein muß, ist mir schon klar:

Ein Arzt erklärte einem Patienten, er müsse, um seine Gesundheit zu erhalten, öfter essen, dafür weniger. Der Patient wollte es besonders recht machen. Von da ab aß er immer nichts.

Es leuchtet mir auch ein, daß, wenn B_n den Inhalt der Startbox zum Zeitpunkt n bedeutet, der Schnitt der B_n für n aus N die leere Menge ergibt.

... und über den Rest denke ich bei Gelegenheit noch einmal nach ...
henrik Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unendlich viele Kugeln in einer Box
Zitat:
Original von Kugelhaufen
Nachdem ihr das mit jeder Kugel der grossen Box gemacht habt, ist diese leer.
Sieht ein bisschen nach Rätsel aus, oder? Ich verschieb´s mal dahin. Ben



Das wird ja nicht eintreten weils unendlich viele sind...
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Wie henrik sagt, haben wir ein Problem damit, dieses Gedankenexperiment physikalisch zu durchdenken. Zum einen gibt es nach gaengiger Lehrmeinung nicht unendlich viele Teilchen im Universum, daher auch keine unendlich vielen Kugeln. Zum anderen braeuchten unendlich viele Kugeln unendlich viel Platz, weil es eine Mindestgroesse gibt. Und die Geschwindigkeitsbegrenzung fuer Teilchen im Universum hindert auch Superman daran, das Umfuellen der Kugeln in endlicher Zeit du vollbringen.

Wir koennen also diese Aufgabe fuer sinnlos erklaeren, oder wir suchen nach einer mathematischen Interpretation. Wer hat Lust auf letzteres?
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unendlich viele Kugeln in einer Box
Aber in der Mathematik behandelt man doch Grenzwerte. Die würden ja dann "auch nicht gehen" (siehe vorherige Posts).

Gruß vom Ben
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Grenzwerte in der Marthematik gehen, weil wir da keine Zeitabhaengigkeit mehr haben. Es ist physikalisch unmoeglich, aber vielleicht nicht mathematisch. Hast du Lust, dieses Experiment mathematisch darzustellen und zu untersuchen, Ben?
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Nein Augenzwinkern
KnightMove Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe den ganzen Thread nicht.

Es sind immer abzählbar unendlich viele Kugeln in der großen Box. Wo soll hier ein Limes sein, der gegen Null geht? Wieso sollen die kleinen Boxen leer sein, es sind doch Kugeln darin?
Die Angabe gibt einfach keinen Sinn.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

NACH dem kompletten Umfuellen sind per definitionem keine Kugeln mehr in der grossen Box, denn sonst waere es nicht nach dem Umfuellen, da noch Umfuellvorgaenge zu leisten waeren.

Hast du auch die anderen Posts gelesen?

Gruss vom Ben
KnightMove Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, und ich bin trotzdem nicht der Meinung, dass es Sinn macht.

Schließlich ist es hier nicht etwa wie in Hilberts Hotel - wir verschieben immer nur endlich viele Kugeln in endlicher Zeit.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

OK, dann macht halt ds ganze Rätsel von der Fomulierung weg für dich keinen Sinn. Das wäre ein Grund den Thread nicht weiter zu beachten Augenzwinkern

Ein paar andere haben da teilweise mehr Sinn drin gesehen oder sich auf ein unsinniges Gedankenexperiment eingelassen... Augenzwinkern

Gruß vom Ben
KnightMove Auf diesen Beitrag antworten »

Na schön. Aber ist es nicht schon gelöst?
kurellajunior Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Irrlicht
Vielleicht sollten wir mal Clark Kent bemuehen, dass er die Kugel fuer uns umverteilt und zwar so, dass er jede einzelne Umverteilung in der Haelfte der Zeit der letzten Umverteilung macht. Denn dann erleben wir den "Sprung" von 1 bzw. 2 auf 0 mit.


Zum Gedankenexperiment:
Die Schwierigkeit, wie schon richtig benannt, ist die Vermischung von zeitlichen und zeitlosen Vorgängen:
Zitat:
Nach der unendlich lange dauernden Aktion.

Um diesen Gedanken aufzugreifen müssen wir annehmen, dass die Zeit ebenfalls unendlich ist, dann und nur dann, kann es einen Zeitpunkt nach dem Umfüllen geben - einen unendlich weit entfernten, aber benennbaren.
Betrachten wir die Zustände der Boxen, sofern uns das möglich ist.
  • Die Große Box
  • Die kleinen Boxen (durchnummeriert)
  • Wert einer Kugel in einer kleinen Box.

Dann gilt nach Aufgabenstellung für jede b(n):


Das würde bedeuten, dass jede beliebige kleine Box genau eine Kugel enthält. Also auch die erste. Allerdings wäre Ihr Wert:
mit

Da die Menge der Kugeln in der großen Box abzählbar aber unendlich ist, kann man zu einem unendlich entfernten Zeitpunkt die letzte Kugel in der Hand halten und die letzte Umsortierung durchführen.
Ich gebe zu dieses Verständnis der Unendlichkeit ist nicht weit verbreitet, aber die Aufgabenstellung verlangt unendliche Zeiträume.
Die unendlich vielen Kisten sind also nicht leer!

Ein anderer Grund, warum sie nicht leer sein können (da spricht der Informatiker in mir):
Laut Aufgabenstellung gibt es folgende Funktionen:
code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:
27:
28:
29:
30:
31:
32:
Box BigBox = new Box //großer Behälter
Box Boxes[] = new Box[n] //unendliches Array der Boxen

// nimmt eine Kugel aus der großen Box und tut sie in der erste kleine
function nimmKugel() {
    //zufällige Kugel auswählen
  Kugel mKugel = BigBox.zufallsKugel()
    // in die erste Box bewegen
  Boxes[1].addKugel(mKugel);
  BigBox.entferneKugel(mKugel);
    // Überprüfung starten
  überprüfeBox(Boxes[1]);
}

// Überprüft den Inhalt einer kleinen Box und schiebt die kleinere Bei Bedarf weiter.
function überprüfeBox(Box pBox) {
  if (pBox.Anzahl >= 2) {
      // Kleinste Kugel eine Box weiterbewegen
    Boxes[pBox].nextBox.addKugel(pBox.kleinsteKugel);
    pBox.entferneKugel(pBox.kleinsteKugel);
      // überprüfen, ob die nächste Box stimmt (Rekursion)
    überprüfeBox(Boxes[pBox].nextBox);
  }
}

// Endlosschleife bei unendlich vielen Kugeln
function main() {
  while (BigBox.Anzahl > 0) {
    nimmKugel();
  }
}

Im obigen Beispiel taucht die Funktion .addKugel(Kugel) auf. Diese Funktion der Objekte vom Typ Box fügt einer kleinen Box eine Kugel hinzu. Das Pendant ist .entferneKugel(Kugel). Diese Funktion kann aber nur aufgerufen werden, wenn mindestens zwei Kugeln in einer kleinen Box liegen. Da oben alle Abläufe der Aufgabenstellung erfasst wurden, kann eine einmal gefüllte Box nie wieder leer werden.

Jetzt raucht mir der Kopf.
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

@KnightMove
Dieses Rätsel wird niemals gelöst sein, denn es ist unlösbar.

@kurellajunior
Seit wann nehmen wir denn eine zufällige Kugel? Aber gut, das könnte man in deinem Programm ja leicht ändern.

Dein Verständnis des Unendlichen ist nicht nur "nicht weit verbreitet", sondern "ausserhalb der Standard-Mathematik".

Und ich kann deinen Kopf noch mehr zum Rauchen bringen:
Du hast damit Recht, dass zu keinem endlichen Zeitpunkt eine einmal gefüllte kleine Box leer wird. Nach der Endlosschleife sind aber alle kleinen Boxen leer, denn
Kugel 1 wurde im ersten Schritt in Box 1 getan und im zweiten Schritt herausgenommen,
Kugel 2 wurde im zweiten Schritt in Box 1 getan und im dritten Schritt herausgenommen,
...
Kugel n wurde im n-ten Schritt in Box 1 getan und im (n+1)-ten Schritt herausgenommen,
...
Jede der Kugeln hat also die Box 1 wieder verlassen. Damit ist keine der Kugeln in Box 1. Also ist Box 1 leer.
Analog mit den anderen Boxen.

@alle
Für die Untersuchung dieses Problems müssten wir uns auf ein mathematisches Modell einigen, das nicht mehr von "real" existierenden Boxen und Kugeln spricht, sondern nur noch von Mengen und ihren Elementen. Darüber hinaus brauchen wir einen Grenzwertbegriff für Folgen von Mengen.
Wenn wir uns da einigen, sollten wir zu denselben Schlussfolgerungen kommen.


Liebe Grüsse,
Irrlicht
kurellajunior Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Irrlicht
Nach der Endlosschleife sind aber alle kleinen Boxen leer, denn
Kugel 1 wurde im ersten Schritt in Box 1 getan und im zweiten Schritt herausgenommen,
Kugel 2 wurde im zweiten Schritt in Box 1 getan und im dritten Schritt herausgenommen,
...
Kugel n wurde im n-ten Schritt in Box 1 getan und im (n+1)-ten Schritt herausgenommen,
...
Jede der Kugeln hat also die Box 1 wieder verlassen. Damit ist keine der Kugeln in Box 1. Also ist Box 1 leer.
Analog mit den anderen Boxen.


Wie bereits erwähnt, erfolgt die Entnahme aus einer beliebigen Box nur und wirklich nur! nach dem Befüllen. Also selbst wenn in einem (n+1)-ten Schritt die Kugel entnommen wird, dann nur, wenn zuvor eine hineingelgt wurde! Also ist selbst bei allgemeinem Verständnis von Unendlichkeit, ist bei beschriebenem Vorgang eine Leerung nicht möglich?
Die Betrachtung der Entnahme aus der Box im (n+1)-ten Schritt, ohne die Betrachtung des gesamten (n+1)-ten Schritt hat tatsächlich Ähnlichkeit mit der aristotelischen Schildkröte.

Die Zufälligkeit war Gewohnheit. die Objektvariable .nächsteKugel ist ohne Probleme denkbar, macht die Anzahl der Umschichtungen berechenbarer.
juergen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Irrlicht
.... Nach der Endlosschleife sind aber alle kleinen Boxen leer, denn
Kugel 1 wurde im ersten Schritt in Box 1 getan und im zweiten Schritt herausgenommen,
Kugel 2 wurde im zweiten Schritt in Box 1 getan und im dritten Schritt herausgenommen,
...
Kugel n wurde im n-ten Schritt in Box 1 getan und im (n+1)-ten Schritt herausgenommen,
...
Jede der Kugeln hat also die Box 1 wieder verlassen. Damit ist keine der Kugeln in Box 1. Also ist Box 1 leer.
Analog mit den anderen Boxen.

verwirrt

Du meinst also:
Kugel n wurde im n-ten Schritt in Box 1 getan und im (n+1)-ten Schritt herausgenommen,

Nun, mit dem n-ten Schritt wird aus der BigBox die letzte Kugel entnommen. Damit gibt es keinen (n+1)-ten Schritt, sondern die n-te Kugel landet in der 1. Box; in den übrigen unendlich vielen Boxen liegen die restlichen Kugeln

Oder wie - oder nicht - oder was verwirrt

Aber da halte ich es doch mit Aristoteles: infinitum in actu non datur
kurellajunior Auf diesen Beitrag antworten »
Aristoteles?
Das heißt?
juergen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aristoteles?
Zitat:
Original von kurellajunior
Das heißt?
Meinst Du den lat. Satz?

Das aktual-unendliche gibt es nicht.
mathemaduenn Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Irrlicht
Zitat:
Original von Irrlicht
Dein Verständnis des Unendlichen ist nicht nur "nicht weit verbreitet", sondern "ausserhalb der Standard-Mathematik".

In der Geometrie betrachtet man manchmal den unendlich fernen Punkt. Und rechnet auch noch damit aber die Geometer sind ja auch keine normalen Mathematiker Augenzwinkern .
Für jede Box und für jede Kugelnummer gibt es einen Zeitpunkt t< an dem diese Kugel wieder herausgenommen wird also jede Kugel wird aus jeder Box wieder herausgenommen. Andererseits erreicht man den Zeitpunkt unendlich. Nein. und auf der leeren Menge kann man ja bekanntlich alles behaupten.
gruß
mathemaduenn
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo zusammen.

Über das was im endlichen passiert, sind wir uns alle einig; der Vorgang wird von kurellajuniors Programm (mit Irrlichts Modifikation) korrekt beschrieben.
Aber dieses Programm macht keine Aussagen über das "Ende der Endlosschleife".

(Vorneweg: Wenn ich "Box" sage, meine ich "kleine Box". Die "große Box" bezeichne ich genau so.)

Betrachten wir den n-ten Schritt in seiner Gesamtheit:
Vorher liegen in den Boxen 1 bis n-1 die Kugeln n-1 bis 1, in dieser Reihenfolge.
Hinterher liegen in den Boxen 1 bis n die Kugeln n bis 1, in dieser Reihenfolge.
Jede Kugel hat ihren Platz gewechselt, ist eine Box weitergerückt.

Betrachten wir den n-ten Schritt in seinen Teilschritten:
Im ersten Teilschritt des n-ten Schrittes wird die Kugel n in Box 1 gelegt.
Im m-ten Teilschritt des n-ten Schrittes (1<m<n) wird die Kugel n-m-1 (die kleinere der beiden n-m und n-m-1) von Box m-1 nach Box m bewegt, wo bereits die Kugel n-m-2 liegt.
Im n-ten Teilschritt des n-ten Schrittes wird Kugel 1 von Box n-1 in die vorher leere Box n bewegt.

(So in etwa sollte das hinkommen, Abweichungen von +-1 oder im Vorzeichen nehmt mir bitte nicht übel.)

Im folgenden betrachte ich den n-ten Schritt als eine Einheit, die alle Kugeln in irgendeiner Reihenfolge um eine Box weiterrückt und die n-te Kugel in die erste Box tut.

Verwenden wir nun nicht die "Zeitpunkte" 1, 2, 3, ..., n, ..., sondern entsprechend der Achilles-Geschichte die "Zeitpunkte" 1, 3/2, 7/4, ..., 2 - (1/2)^n, ... die gegen 2 konvergieren. Damit haben wir die "Zeitpunkte" so angeordnet, dass es immer noch unendlich viele gibt, aber auch ein endlicher Grenzwert existiert, also ein "Zeitpunkt" über den man reden kann.

Dies setzt die Abstraktion voraus - die Realitätsferne dieses Problems hatte ich ja bereits früher dargelegt -, dass der n-te Schritt in einer "Zeit" durchgeführt wird, die kleiner als (1/2)^{n+1} ist.

Das große Problem was wir nun mit der Vorstellung von unendlich vielen Kugeln und unendlich vielen Boxen haben, ist dass dieses immer noch physikalische Modell eine Stetigkeit impliziert, die durch nichts gerechtfertigt wird.


Einfachstes Beispiel eines "unstetigen Prozesses":
Wir nehmen eine perfekte Lampe (schaltet sofort um, geht nicht kaputt, ist zu jedem Zeitpunkt entweder an oder aus), die wir zu den "Zeitpunkten" 1, 3/2, 7/4, ... (wie oben) abwechselnd einschalten und ausschalten.
Frage: Ist die Lampe nach dem Zeitpunkt 2 an oder aus?


Zurück zu den Kugeln:
a) Für jede einzelne Box können wir die Anzahl der Kugeln in dieser Box als Funktion der "Zeit" auffassen. Bis zum n-ten Schritt hat sie den Wert 0, und danach den Wert 1, der zwischen den nachfolgenden Schritten so bleibt.

b) Für jede Box und jede Kugel können wir die Angabe, ob die n-te Kugel in der m-ten Box liegt, als Funktion der "Zeit" auffassen. Hier gibt es einen "Zeitpunkt", an dem sie von "nein" auf "ja" springt, und "kurz danach" einen, an dem sie von "ja" auf "nein" springt, und nach jedem weiteren Schritt so bleibt.

Ergebnis: a) deutet an, dass nach dem "Ende der Endlosschleife" jede Box gefüllt ist, während b) andeutet, dass keine Kugel mehr in irgendeiner Box ist.

Wir haben also einen Widerspruch, wenn wir annehmen, dass beide Andeutungen zutreffen.
Genau dieser Widerspruch macht das Rätsel unlösbar, aber verschiedene andere Abwandlungen sind lösbar. Den Fahrplan dafür hat Irrlicht genannt: Wir brauchen ein Modell, das einen Grenzwertbegriff für Mengen enthält. Je nachdem, wie der aussieht, können wir vielleicht zu dem einen oder anderen Ergebnis kommen.


juergen, in keinem Schritt wird "die letzte Kugel" aus der großen Box entnommen, weil es darin keine letzte Kugel gibt, ebenso gibt es keinen letzten Schritt. Das ist ja gerade das Wesen eines Grenzübergangs, und wenn du die Nichtexistenz des Aktual-Unendlichen ernst meinst, dann entfällt für dich meine Modellgrundlage: Die Zermelo-Fraenkelsche Mengenlehre.


mathemaduenn, was meinst du mit "auf der leeren Menge kann man ja bekanntlich alles behaupten"? Natürlich gibt es Aussagen über Mengen, die von der leeren Menge trivialerweise erfüllt sind (mangels Gegenbeispiel), aber alles gilt nicht: ist falsch.

Geometer haben einen unendlich fernen Punkt, aber sie "rechnen" nicht damit in einem arithmetischen Sinne. Dafür haben sie einen Grenzwertbegriff, und ein solcher fehlt uns noch.

Also verbleibt die Aufgabe:
Nach jedem Schritt haben wir für jede Box und die große Box die Menge aller Kugeln, die in dieser Box liegen. Das sind unendlich viele Boxen, also haben wir eine unendliche Menge von Folgen von Mengen, und die Menge der Kugeln die "nach der Endlosschleife" in der n-ten Box liegt, ist ein Grenzwert der n-ten Mengenfolge.
Wir müssen nur noch definieren, was dieser Grenzwert sein soll, dann können wir die Frage beantworten.

Freiwillige vor!
(Ich habe meine Definition, bin aber offen für andere Vorschläge.)

Gruss,
SirJective
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo.
Ich finde die Überlegungen sehr spannend, kann jedoch selbst leider nicht wirklich etwas beisteuern.
Einzig eine Idee ist mir gekommen:
Das Herausnehmen einer Kugel könnte man aber doch wie folgt darstellen, oder?

Dann ist die Menge der in der großen Box enthaltenen Kugeln nach dem n. Umfüllen.
Warum ich nicht einfach für diesen Zustand schreibe, hat den Grund, dass man jetzt, um den Grenzwert zu untersuchen, nicht die für mich etwas fragwürdige, da für mich undefinierte, Schreibweise
verwenden muss, um den Zustand "nach dem Umfüllen" beschreiben zu können, obwohl wohl jeder intuitiv diesem Grenzwert den Wert zuordnen würde, sondern stattdessen
untersuchen kann, was bereits definiert ist und eindeutig den Wert hat.

Ich habe jedoch keine Ahnung, ob das was bringt und ob man das irgendwie auf die kleinen Boxen übertragen kann.
Oudeis Auf diesen Beitrag antworten »

Huhu,

vielleicht fällt es uns ja leichter, einen Kompromiss zu erzielen (jaja, bin grade beim Nebenfachlernen Big Laugh ) für den verendlichten Fall, daß es nur eine kleine Box gibt und die überschüssigen Kugeln alle weggeworfen werden? Mich dünkt, wenigstens so ad hoc, daß das formal nicht leichter ist als die ursprüngliche Frage, aber ich könnte mir vorstellen, daß manche vielleicht unklare Intuitionen haben über die unendliche Folge von kleinen Boxen.

Grüße,
Oudeis
juergen Auf diesen Beitrag antworten »

@oudeis!
Hallo Niemand. Netter Nick! - schlägt da die humanistische Bildung durch?

---------------------------------

Nun, auf die Frage "Sind die kleinen Boxen leer?" soll eine Antwort gegeben werden.
Nun läßt die allgemeine Logik hier nur "Ja" und "Nein" zu: tertium non datur!

Damit kommt man nicht viel weiter. Daher schlage ich eine kleine Modifikation der Logik vor. Wir machen die Logik dreiwertig. Es gibt dort nun: Ja; Nein; Ööhm.

Nun ist die Frage zu beantworten:
Frage: Sind die kleinen Boxen leer?
Antwort: Ööhm!
:P

Problem gelöst smile
kurellajunior Auf diesen Beitrag antworten »

Spitzenlösung!
Mit Zunge
Ehrenmedaillie für praktisches Anwenden neuer Horizonte.

Soweit ich weiß, gibt es den Ansatz in der Logik die Ausagen ja, nein, weder noch und beides zuzulassen, um genau solche Probleme zu lösen. Weiß da jemand mehr?

Nichtsdestotrotz würde mich die Definition der Mengen- und Folgengrenzwerte interessieren. So um den Gedanken im Kopf rund zu machen.
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Philipp,

Zitat:
Original von Philipp-ER
Einzig eine Idee ist mir gekommen:
Das Herausnehmen einer Kugel könnte man aber doch wie folgt darstellen, oder?

Dann ist die Menge der in der großen Box enthaltenen Kugeln nach dem n. Umfüllen.


Ja, das könnte man so tun.

Zitat:
Warum ich nicht einfach für diesen Zustand schreibe, hat den Grund, dass man jetzt, um den Grenzwert zu untersuchen, nicht die für mich etwas fragwürdige, da für mich undefinierte, Schreibweise
verwenden muss, um den Zustand "nach dem Umfüllen" beschreiben zu können, obwohl wohl jeder intuitiv diesem Grenzwert den Wert zuordnen würde,


Da dieser Grenzwert undefiniert ist, frage ich nach Definitionsvorschlägen.
Warum ist die Grenz-Menge für dich intuitiv die leere Menge? Intuitiv könnte man auch vermuten, dass die Grenz-Menge nicht leer sein kann, da ja jede Folge-Menge unendlich ist.

Zitat:
sondern stattdessen
untersuchen kann, was bereits definiert ist und eindeutig den Wert hat.


Wie ist dieser Durchschnitt bereits definiert?
Dies ist der Vorschlag einer Grenzwert-Definition. Wie motivierst du diesen Vorschlag? (Ich halte ihn übrigens für sehr sinnvoll.)

Zitat:
Ich habe jedoch keine Ahnung, ob das was bringt und ob man das irgendwie auf die kleinen Boxen übertragen kann.


Ja, das bringt was für die große Box. Auf die kleinen Boxen ist das nicht anwendbar, weil wir dort keine monotonen fallenden Mengenfolgen haben.

Analog kannst du dir überlegen, wie man den Grenzwert einer monoton wachsenden Mengenfolge definieren kann, also einer Folge A_n mit .

Schwieriger wird es gerade für nichtmonotone Folgen, und selbstverständlich muss nicht jede Folge einen Grenzwert haben.

Oudeis, deine Idee, nur eine kleine Box zu betrachten, halte ich für sehr gut geeignet, sich diesem Problem zu nähern.

kurellajunior, es gibt mehrwertige Logiken, in denen es außer wahr und falsch weitere Werte gibt, wo eine Aussage also durchaus weder wahr noch falsch sein kann, mir ist aber keine Logik bekannt, in der Aussagen sowohl wahr als auch falsch sind.

Gruss,
SirJective
juergen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von SirJective
...kurellajunior, es gibt mehrwertige Logiken, in denen es außer wahr und falsch weitere Werte gibt, wo eine Aussage also durchaus weder wahr noch falsch sein kann, mir ist aber keine Logik bekannt, in der Aussagen sowohl wahr als auch falsch sind.

Was Du meinst, ist vermutlich die sog. "fuzzy logic". Dort gibt es nicht nur die Werte 0 und 1, sondern auch werde dazwischen z.B. 0.1, 0.2 ....

Mit meinem "Ööhm" meint ich aber tatsächlich ein "sowohl als auch".

Ich meine (oder besser ich vermute), daß in unserem Beispiel die Frage nicht entscheidbar ist.

Es gibt eine ganze Reihe von Dingen, bei denen die einzig sinnvolle Lösung auf eine Entscheidungsfrage ein "sowohl als auch" ist.
Um nur zwei Beispiele zu nennen:
--aus der Mathematik:
Hat R die Mächtigkeit wie Aleph-1 oder eine andere? Sowohl als auch.
--aus der Physik:
Ist ein Photon ein Teilchen oder eine Welle? -- Sowohl als auch.


Auch wenn der ein oder andere Mathematiker meint, es dürfe in der Mathematik kein Ignorabimus geben, so gibt es dies dennoch. Den meisten Mathematikern wird dies auch heute bekannt sein; wenngleich noch 1928 David Hilbert in einem Vortrag in Bologna sagen konnte:
In der Mathematik gibt es kein Ignorabimus, wir können vielmehr sinnvolle Fragen stets beantworten, und es bestätigt sich, was vielleicht schon Aristoteles voraus fühlte, daß unser Verstand keinerlei geheimnisvolle Künste treibt, vielmehr nur nach ganz bestimmten aufstellbaren Regeln verfährt - zugleich die Gewähr für die absolute Objektivität seines Urteilens.
Nur drei Jahre später veröffentlichte Gödel seine für die Mathematik (und auch allgemein die Naturwissenschaften) bedeutende Schrift: Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme.
Damit war klar: es gibt Sätze, die nicht entscheidbar sind; Sätze für die nicht nur "ja oder nein" sondern auch "ja und nein zugleich" gültig sind.

-> Hier liegt die Geburtskrippe meines "Ööhm" smile
kurellajunior Auf diesen Beitrag antworten »
Bezugssysteme
Mir ist da ein Gedanke gekommen, mit dem das Ganze aufdröselbar wird:Idee!

Ich vermute die Ursache für die notwendige Antwort "Ööhm" in der Tatsache, dass in der Fragestellung zwei Bezugssysteme gleichzeitig betroffen sind. Dieses Dilemma wurde schon aufgedröselt:

Zitat:
Original von SirJective
[...]
Zurück zu den Kugeln:
a) Für jede einzelne Box können wir die Anzahl der Kugeln in dieser Box als Funktion der "Zeit" auffassen. Bis zum n-ten Schritt hat sie den Wert 0, und danach den Wert 1, der zwischen den nachfolgenden Schritten so bleibt.

b) Für jede Box und jede Kugel können wir die Angabe, ob die n-te Kugel in der m-ten Box liegt, als Funktion der "Zeit" auffassen. Hier gibt es einen "Zeitpunkt", an dem sie von "nein" auf "ja" springt, und "kurz danach" einen, an dem sie von "ja" auf "nein" springt, und nach jedem weiteren Schritt so bleibt.

Ergebnis: a) deutet an, dass nach dem "Ende der Endlosschleife" jede Box gefüllt ist, während b) andeutet, dass keine Kugel mehr in irgendeiner Box ist.
[...]

Zusammen mit dieser Idee
Zitat:
Original von Oudeis
[...] für den verendlichten Fall, daß es nur eine kleine Box gibt [...]

und, dass die Kugeln danach nicht weggeworfen werden, sondern in eine zweite große Box wandern, gibt das für den Grenzwert
  1. aus der statischen Sicht der großen Box: "Ich bin leer."
  2. aus der statischen Sicht der kleinen Box, die Antwort: "Ich werde nie leer."
  3. aus der statischen Sicht der ZielBox: "Ich bin voll."
  4. aus der mobilen Sicht der Menge der Kugeln: "Wir sind in der großen Box (Wahlweise auch Nirvana, aber ein Auffangbecken für arme umherirrende Kugeln ist mir sympatischerAugenzwinkern )."

Aus der Unvereinbarkeit der einzelnen Aussagen im gleichen Bezugssystem ergibt sich, dass es zwei Systeme geben muss, in denen die jeweiligen Aussagen gelten können:
  1. a+c+d
  2. a+b


Ich denke, damit könnte man das Rätsel als beantwortet betrachten, sogar ohne neue Grenzwertregeln, nur mit einem janusköpfigen Blick. Augenzwinkern
Oudeis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von juergen
Ich meine (oder besser ich vermute), daß in unserem Beispiel die Frage nicht entscheidbar ist.


Das ist richtig imho. Die Ursprungsfrage definiert einen Prozess durch normale Induktion, und über induktiv definierte Prozesse sollte man keine Fragen stellen, die sich mit Zuständen "zu weit draussen" befassen (man braucht hier ein stärkeres Induktionsprinzip, also zum Beispiel transfinite Induktion, oder sonstwie Informationen darüber, was "im Unendlichen" passieren soll).

Zitat:
Es gibt eine ganze Reihe von Dingen, bei denen die einzig sinnvolle Lösung auf eine Entscheidungsfrage ein "sowohl als auch" ist.
Um nur zwei Beispiele zu nennen:
--aus der Mathematik:
Hat R die Mächtigkeit wie Aleph-1 oder eine andere? Sowohl als auch.


Meiner Meinung nach besteht die richtige Antwort auf diese Frage in der Gegenfrage:

Welches Modell der Mengenlehre hätten's denn gern?

Daß die Kontinuumshypothese nicht mit den Mitteln von ZFC entscheidbar ist, ist im Grunde nicht überraschender als die Tatsache, daß die Aufgabe

Sei K ein Körper. Welche Kardinalität hat K?

schlecht gestellt ist, weil die Antwort einfach nicht aus den Axiomen der Körpertheorie folgt - man kann sowohl endliche als auch unendliche Modelle-der-Körpertheorie (aka Körper) angeben. Verwirrender wird der Fall der Kontinuumshypothese nur aus vier Gründen:

1. Der Beweis für die Unentscheidbarkeit der Kontinuumshypothese mit den Mitteln der zugrundeliegenden mathematischen Theorie ist nicht ganz so leicht und er benötigt zudem die Annahme, daß selbige Theorie überhaupt konsistent ist.
2. Die Mengenlehre erlaubt nicht direkt die Konstruktion eines Modells der Mengenlehre
3. Viele Menschen hängen intuitiv der irrigen Ansicht an, die Axiome der Mengenlehre würden das Mengenuniversum bis auf Isomorphie eindeutig festlegen, was natürlich aber nicht der Fall sein kann.
4. Die allseits bekannten Unvollständigkeitsresultate versichern uns, daß (3) nicht behebbar ist, was manche Leute erschreckt am Anfang.

Ansonsten passiert da nichts seltsames, die Mengenlehre definiert schlicht keine Antwort auf die Frage nach der Kontinuumshypothese. Über Physik weiss ich leider nur sehr wenig, aber es ist mein Eindruck, daß das bei der Frage nach dem echten Zustand irgendwelcher Elementarteilchen ähnlich ist (die Physik sagt ja nur die Ergebnisse von Messungen voraus, solange man nicht das Bedürfnis hat, sie zu "interpretieren").

Grüße,
Oudeis
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo SirJective.
Also wir geben uns eine Folge von Mengen vor und wollen eine sinnvolle Definition von
finden?
Ich denke mal drüber nach.
Könnte man mit einer solchen Definition der ursprünglichen Aufgabe Herr werden?

Dieser Durchschnitt ist definiert als die Menge aller Elemente, die sich in allen befinden. Wenn man annimmt, dass n Element dieses Durchschnittes ist, bekommt man einen Widerspruch, da n nicht in ist, deshalb ist der Durschchnitt die leere Menge. Ähnlich hätte ich für die "Grenzmenge" argumentiert, weswegen meine Intuition für die leere Menge sprach.



Edit:
Irgendwie bräuchte ich erstmal ein paar Mengenfolgen, bei denen man eine intuitive Vorstellung von einem Grenzwert hat, so dass ich dann prüfen kann, ob mögliche Einfälle für eine Grenzwertdefinition dieser Intuition Genüge tun. Leider wollen mir keine solchen einfallen.
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Philipp,

wir haben schon festgestellt, und Oudeis bringt es auf den Punkt, dass der induktiv definierte Vorgang selbst keine Informationen über "das Danach" enthält. Wir brauchen also ein anderes Induktionsprinzip oder eine Form von Grenzübergang. Die Frage selbst macht aber keinerlei Aussagen darüber, was zu verwenden ist, also kann sie nicht beantwortet werden.

Alles was wir tun können, ist, geeignet gestellte Fragen zu beantworten, die der ursprünglichen Frage ähneln.

Mit einem Grenzwertbegriff für Mengenfolgen kann man sagen, ob die Folge der Kugeln in Box 1 konvergiert, und wie ggf. der Grenzwert aussieht. Es ist aber nicht garantiert, dass diese Folge konvergiert.

Deine Intuition spricht im Fall einer monoton fallenden Mengenfolge für denselben Grenzwertbegriff, den ich verwenden würde.



Ich geb dir mal ein paar Beispiele weiterer Mengenfolgen (N sei hier ohne 0), deren Grenzwert du intuitiv bestimmen könntest.

a)
Sei U = {1,3,5,...} die Menge der ungeraden Zahlen.
A_1 = U mit {2}
A_2 = U mit {2,4}
A_3 = U mit {2,4,8}
...
A_n = U mit {2,4,8,16,...,2^n}
...

b)
Sei f: N -> N eine bijektive Abbildung.
A_1 = {f(1)}
A_2 = {f(1), f(2)}
...
A_n = {f(1), ..., f(n)}
...

c)
A_1 = {1}
A_2 = {2}
A_3 = {3}
...
A_n = {n}
...

d)
A_1 = {1}
A_2 = {2,3}
A_3 = {4,5,6,7}
A_4 = {8,...,15}
...
A_n = {2^(n-1), ..., 2^n - 1}
...

e)
A_1 = {1}
A_2 = {2}
A_3 = {1}
A_4 = {2}
...
A_(2n) = {2}
A_(2n+1) = {1}
...

f)
A_1 = N \ {1}
A_2 = N \ {1,2}
A_3 = N \ {1,2,3}
...
A_n = N \ {1,...,n}
...

g)
A_1 = N \ {1}
A_2 = N \ {2}
...
A_n = N \ {n}
...

Gruss,
SirJective
ligako Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unendlich viele Kugeln in einer Box
@jürgen
--aus der Physik:
Ist ein Photon ein Teilchen oder eine Welle? -- Sowohl als auch.

das ist leider nicht war
sondern weder noch beides sind nur modelle aber das Ööhm gefällt mir

@alle
und zu euerm gund problem will ich doch nur noch mal anmerken die frage war doch wo sie danach sind und damit ihr ein physikalisch irsinniges problem lösen könnt(weil es ja kein danach gibt weil sich immer kugeln in der kiste befinden) bediehnen sich doch die mathemathiker des tricks das sie was definieren(ihr habt ja auch schon vorausgesetzt das es ein danach gibt) also defeniere ich jetzt einfach mal die "ROSA-KUGEL-KISTE" und in der sind danach alle kugeln Augenzwinkern
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