Kombinatorik II

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19.05.2004, 15:06	sonja1893	Auf diesen Beitrag antworten »
Kombinatorik II Ich hab noch ein paar Aufgaben, bei denen ich einfach nicht weiterkomme: 1. Zeigen Sie, dass $\begin{align} \Bigsum_{k=1}^n~k = \frac{1}{2}n(n+1) \end{align}$ ein Spezialfall der oberen Summenformel $\begin{align} \Bigsum_{k=0}^n~$\array{k\\m}$ = $\array{n+1\\m+1}$ \end{align}$ ist. 2. Für welche Werte von k wird $\begin{align} $\array{n\\k}$ \end{align}$ maximal? Warum gilt immer $\begin{align} $\array{n\\k}$ \leq 2^n \end{align}$ ? 3. In einem Prüfungszeitraum werden 5 Prüfungen in Mathematik und 3 in BWL angeboten. Ein Student soll insgesamt 4 Prüfungen schreiben. Der Student kann von diesen Prüfungen also auswählen: eine in Mathematik und 3 in BWL, oder 2 in Mathematik und 2 in BWL, usw. Wieviele Wahl-Möglichkeiten hat der Student? 4. Berechnen Sie $\begin{align} \Bigsum_{k=0}^n~$\array{n\\k}$^2 \end{align}$ mit Hilfe der Vandermonde Konvolution. Was gibt $\begin{align} (\Bigsum_{k=0}^n~$\array{n\\k}$)^2 \end{align}$ ?
19.05.2004, 15:20	m00xi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kombinatorik II Hi Sonja! 3. In einem Prüfungszeitraum werden 5 Prüfungen in Mathematik und 3 in BWL angeboten. Ein Student soll insgesamt 4 Prüfungen schreiben. Der Student kann von diesen Prüfungen also auswählen: eine in Mathematik und 3 in BWL, oder 2 in Mathematik und 2 in BWL, usw. Wieviele Wahl-Möglichkeiten hat der Student? Also diese Aufgabe würde ich spontan über eine Summe lösen, und zwar: $\begin{align} \Bigsum^{3}_{i=0}{$\array{5\\\(4-i$}\)$\array{3\\i}$} \end{align}$ i gibt an, wie viele der Klausuren er in BWL nehmen möchte, was ja maximal 3 sein können. Dementsprechend sind $\begin{align} 4-i \end{align}$ die Klausuren in Mathematik. Ich gehe also mit von 0 bis 3 und bilde alle Kombinationen. Stimmt ihr mir da zu? Gruß Hanno
19.05.2004, 15:23	m00xi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kombinatorik II Hmm, was ist denn m bei Aufgabe 1?
19.05.2004, 15:31	sonja1893	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kombinatorik II Also statt k=0 steht bei uns im Skript, was die Formel betrifft, k=m. Vielleicht hilft dir das ja weiter.
19.05.2004, 15:33	m00xi	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir fällt grad auf dass das Ergebnis meiner Termes oben das gleiche wie $\begin{align} $\array{8\\4}$ \end{align}$ ist. ISt ja auch logisch, wenn du die Zahlen 1 bis 5 und 6-8 hast und wählst 4 aus, dann hast du ja die prüfungen. Entweder da ist irgendwo ein Haken oder ide Aufgabe ist wirklich nicht so schwierig. Was sagst du dazu? Gruß Hanno
19.05.2004, 15:37	sonja1893	Auf diesen Beitrag antworten »
Das könnte natürlich schon sein. Ich bin da aber kein Experte (sonst würd ich das ja alles allein im Schlaf lösen ). Vielleicht könnte sich ja noch jemand dazu äußern...
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19.05.2004, 15:38	m00xi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kombinatorik II 4. Berechnen Sie $\begin{align} \Bigsum_{k=0}^n~$\array{n\\k}$^2 \end{align}$ mit Hilfe der Vandermonde Konvolution. Was gibt $\begin{align} (\Bigsum_{k=0}^n~$\array{n\\k}$)^2 \end{align}$ Also die zweite Frage kann ich auch beantworten: Da $\begin{align} \Bigsum_{k=0}^n~$\array{n\\k}$=2^n \end{align}$ gilt, muss ja $\begin{align} (\Bigsum_{k=0}^n~$\array{n\\k}$)^2=4^n \end{align}$ gelten. Was die erste Frage anbelangt so weiß ich das allerdings nicht, habe noch nie von Vandermondscher Konvolution gehört, kenne nur die Vandermondsche IDentität Gruß Hanno
19.05.2004, 15:41	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
@Sonja Sorry, wenn ich jetzt ins Fettnaepfchen trete, aber du hoerst nicht zufaellig die Vorlesung http://theorie.informatik.uni-ulm.de/Per...atheGrundlagen/ Denn wenn du das tust, dann wuerde ich vorschlagen, dass wir bessere Tips geben und nicht viele Fast-Loesungen bzw. Loesungen. ((Das schreib ich hauptsaechlich an ev. sehr motivierte Helfer, die sich gleich an die Aufgabe schmeissen. Damit helfen wir ihr ja nicht.))
19.05.2004, 15:45	sonja1893	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, ich studier nicht in Ulm. Aber wenn ihr mir zu allen Aufgaben Tipps geben könntet, würde mir das auch schon weiterhelfen.
19.05.2004, 15:45	m00xi	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir macht's ja Spaß aber so ganz unrecht hat Irrlicht wirklcih nicht :/
19.05.2004, 15:49	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
@Sonja Mein ich doch. Du kannst das mit Tips bestimmt auch gut, denn die User hier sind sehr hilfreich. Aber wenn du nicht in Ulm studierst, dann macht es sich der Mensch, der eure Uebungsaufgaben zusammenstellt ja wirklich einfach. ggg Guckt mal, ein Online-Tutorium fuer Kombinatorik (das aber wohl eher fuer Schueler interessant ist): http://www.phil.uni-sb.de/~jakobs/semina...torik/ziele.htm
19.05.2004, 15:51	m00xi	Auf diesen Beitrag antworten »
ALso wo wir mal bei den Aufgaben sind. In meinem Buch "Diskrete Strukturen" finden sich ( oh Wunder ) auch irgendwie nahezu alle Übungsaufgaben drin, die hier auf matheboard.de gestellt werden. Nach denen hier hab ich jez noch nich gesucht aber man findet doch schon allerhand was sehr gleich ist. Gruß Hanno
19.05.2004, 16:02	sonja1893	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn das das Buch von der Steger ist, dann hab ich das auch. Ich hab auch schon nach den Aufgaben in dem Buch gesucht, hab sie aber irgendwie nicht gefunden.
19.05.2004, 16:10	m00xi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau, von Ingrid Steger. Aber schau doch mal in das Kombinatorik Kapitel, da sind zich Aufgaben, auch viele die du schon gestellt hast. Und das mit dem perfekten Matching is auch drin, abe rin einem anderen Kapitel. Gruß Hanno
19.05.2004, 16:25	sonja1893	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die hab ich mittlerweile auch alle entdeckt, aber die neuen Aufgaben stehen da irgendwie nicht drin.
19.05.2004, 16:34	m00xi	Auf diesen Beitrag antworten »
Was für eine Herausforderung ) Such halt mal bei google, da findet sich bestimmt was, ich muss nämlich jetzt leider weg zum Volleyball ) Good luck Hanno
19.05.2004, 16:43	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Binomialkoeffizienten zur Formel "Summe der Quadrate der Binomialkoeffizienten einer Zeile des Pascalschen Dreiecks" (Aufgabe 4): Stell dir eine Gruppe vor aus 8 Personen, 4 Männer und 4 Frauen. Aus dieser Gruppe sollen nun 4 Personen ausgewählt werden. A. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür? B. 0) Bei wieviel Möglichkeiten aus A. ist kein Mann dabei? 1) Bei wieviel Möglichkeiten aus A. ist genau ein Mann dabei? 2) Bei wieviel Möglichkeiten aus A. sind genau zwei Männer dabei? 3) Bei wieviel Möglichkeiten aus A. sind genau drei Männer dabei? 4) Bei wieviel Möglichkeiten aus A. sind genau vier Männer dabei? Wenn du die Möglichkeiten aus B. alle addierst, erhältst du in der Summe die in A. berechneten Möglichkeiten. Jetzt mußt du nur noch die Symmetrieeigenschaft der Binomialkoeffizienten anwenden - und schon hast du einen Spezialfall der gesuchten Formel bewiesen. Jetzt sagst du statt "8 Personen" einfach "2n Personen" und statt "4 Männer und 4 Frauen" einfach "n Männer und n Frauen" - und schon hast du den allgemeinen Fall der Formel bewiesen.
19.05.2004, 18:48	sonja1893	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Binomialkoeffizienten Vielleicht bin ich ja ein bisschen blöd, aber ich kann irgendwie nicht erkennen, was das mit meiner 4. Aufgabe (Vandermonde) zu tun hat. Bitte bring Licht ins Dunkel.
19.05.2004, 21:40	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe von der "Vandermonde-Konvolution" noch nie etwas gehört. Was habe ich also getan? Bei google den Suchbegriff eingegeben - und gleich (als ersten Eintrag!) einen Link zu einer Aufgabe gefunden, die genau deiner Aufgabe 4 entspricht! Die "Vandermonde-Konvolution" ist einfach eine bekannte Formel für Binomialkoeffizienten, die mir unter diesem Namen allerdings nicht geläufig war. Und die mußt du nur spezialisieren! Das ist doch elementar! Ich denke, du solltest nicht warten, bis jemand deine Aufgaben löst, sondern etwas mehr Eigeninitiative entfalten. Was man sich einmal selber erarbeitet hat, vergißt man nicht mehr so schnell. Was einem andere vorkauen, ist erstens schwer verdaulich, und leider auch allzu bald dem Gedächtnis wieder entfleucht.
20.05.2004, 11:47	sonja1893	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir ja leid, dass ich, wenn ich eine Aufgabe nicht versteh und nicht selber lösen kann, sie hier ins Forum reinstelle. Ich hab nirgends geschrieben, dass ich erwarte, dass ihr die alle komplett für mich löst. Mir reicht es, wenn ich ein paar Tipps bekomme, und wenn ich Fragen dazu habe, dass sie beantwortet werden. Ich denke, dazu ist das Forum da oder etwa nicht? Und bevor ich hier eine Aufgabe poste, schau ich schon immer erst, ob ich irgendwo sonst im Internet was dazu finde. Diesmal hab ich wohl was übersehen, aber deshalb brauchst du mir noch lange nicht zu wenig Eigeninitiative unterstellen. Mir selbst wäre es nämlich am liebsten, ich könnte das alles selbst (schließlich war ich in den letzten Jahren immer gut in Mathe, aber seit ich diesen Prof habe, kapier ich gar nichts mehr), aber dem ist nun mal nicht so, weil ich diese Themen in mittlerweile über 13 Jahren Schulzeit noch nie hatte und der Prof in der Vorlesung das so schlecht rüberbringt, dass er in der Prüfung 90% Durchfallquote hat. X( Und jetzt kommst du!
20.05.2004, 12:03	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir ging es nur darum, dich dazu anzuspornen, nicht zu früh aufzugeben! Manchmal muß man sich in einen Sache einfach "hineinbeißen" - und plötzlich kommt einem die "rettende Idee". Und oft gar nicht bei der Sache selbst, sondern wenn man gerade einer anderen Beschäftigung nachgeht: wenn man spazieren geht, gerade das Abendessen vorbereitet oder die Getränke aus dem Keller holt ... Voraussetzung ist natürlich, daß man sich so mit der Materie beschäftigt hat, daß das Gehirn im Hintergrund arbeitet. Entschuldige bitte, wenn ich etwas "altklug" geklungen habe! 's war nicht bös' gemeint! Im übrigen empfehle ich dir noch einmal, die Aufgabe mit den 4 Männern und 4 Frauen zu lösen - und die gesuchte Formel wird sich ganz von alleine einstellen! (Das ist zwar vermutlich nicht der vom Professor gewollte Weg - aber er hilft sehr viel zum Verständnis von Kombinatorik, insbesondere von Binomialkoeffizienten.) Das Einzige,was du wissen mußt: 1. Es gibt "n über k" Möglichkeiten, aus einer n-elementigen Menge k Elemente (ohne Rücksicht auf die Anordnung) auszuwählen. 2. Multiplikationsprinzip der Kombinatorik 3. Symmetrie der Binomialkoeffizienten ("n über k" = "n über n-k") Zu 3. habe ich übrigens schon etwas geschrieben im Thread "Kombinatorik" von Deathbyaclown, 5.5.2004 - ein Zugang ganz ohne Rechnung!
20.05.2004, 12:27	sonja1893	Auf diesen Beitrag antworten »
Also bei deiner Aufgabe mit den 8 Personen: Ist die Lösung: A: $\begin{align} $\array{8\\4}$ \end{align}$ B0: $\begin{align} $\array{4\\4}$ \end{align}$ B1: $\begin{align} $\array{5\\4}$ \end{align}$ B2: $\begin{align} $\array{6\\4}$ \end{align}$ B3: $\begin{align} $\array{7\\4}$ \end{align}$ B4: $\begin{align} $\array{8\\4}$ \end{align}$ ??? Ich weiß da immer nie, welche Formel ich nehmen muss.

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