Erwartungswert und Varianz einer NBIN-verteilten ZV |
12.08.2008, 15:28 | zwergnase | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Erwartungswert und Varianz einer NBIN-verteilten ZV Hat jemand bitte einen Tipp? Gruß |
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12.08.2008, 15:33 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Erwartungswert ist nicht wie bei dir, sondern . |
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12.08.2008, 22:40 | zwergnase | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also wäre ein Ansatz: |
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12.08.2008, 22:51 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zwei Tipps, die richtig angewandt rasch zum gewünschten Ergebnis führen: (1) Es ist für alle . (2) Wie bei jeder diskreten Verteilung ist die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten gleich Eins, d.h., es gilt , und das für beliebige (!) ganze Zahlen und reelle Zahlen . P.S.: Auf Wunsch von zwergnase wiederhergestellt. |
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13.08.2008, 10:21 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@ zwergnase Zur Berechnung statistischer Kenngrößen für Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf der Menge der ganzen Zahlen bietet sich das Konzept der erzeugenden Funktion an. Gilt nämlich und definiert man hiermit die erzeugende Funktion durch , so gilt sofern die zugehörigen Reihen auch noch bei konvergieren. Im konkreten Fall heißt das, wenn man wie üblich setzt: Zuletzt wurde durch substituiert (Indexverschiebung). Nun gilt (da kommt ja auch der Name "negative" Binomialverteilung her): womit man erhält (binomische Reihe). Die Reihe konvergiert mindestens für , also . Der Konvergenzradius ist daher größer als 1, womit die obigen Formeln für Erwartungswert und Varianz anwendbar sind. Der Rest ist jetzt eine Rechenaufgabe. |
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13.08.2008, 11:26 | zwergnase | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@ Arthur Dent: Danke für deine Hilfe, aber wieso hast du deiner Eintrag gelöscht war gerade am rechnen? Wäre dies meine erste Umformung? Muss ich nun den Index auf k = 0 transformieren? |
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13.08.2008, 11:36 | zwergnase | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Leopold, danke für deine Hilfe, da ich noch nie etwas von einer erzeugenden Funktion gehört habe, hier mal ein paar, vielleicht auch triviale, Fragen:
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13.08.2008, 12:38 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
1. Ja, meint die Ableitung von an der Stelle . 2. Ja, es ergibt sich . Erzeugende Funktionen bieten sich immer dann an, wenn man für die Reihe eine geschlossene Formel angeben kann, so daß die Berechnung von Erwartungswert, Varianz usw. auf bloßen Ableitungskalkül hinausläuft. Bei der Verteilung hier läßt ja schon der Name "negative Binomialverteilung" erahnen, worauf das hinauslaufen könnte. Siehe auch hier, wo dein Problem als sechstes Beispiel aufgelistet ist. Ein weiteres Beispiel: Poisson-Verteilung mit dem Parameter : Hier ist die erzeugende Funktion |
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13.08.2008, 13:07 | zwergnase | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
zu 2. Zu der Poission-Verteilung komme ich später noch, ist mein nächstes Beispiel, erstmal will ich diese Verteilung verstehen. |
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13.08.2008, 19:49 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast berechnet. |
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13.08.2008, 21:49 | zwergnase | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aber, wenn ich G(x) nach x ableite, also komme ich nicht auf r/p für x = 1. |
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14.08.2008, 08:30 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
14.08.2008, 08:57 | zwergnase | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oh, jetzt sehe ich es dummer Ableitungsfehler... Danke |
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14.08.2008, 09:02 | zwergnase | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gilt immer, dass das zweite Moment die Summe der ersten und zweiten Ableitung der erzeugenden Funktion ist, und warum. Gibt es dazu einen Beweis? |
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14.08.2008, 09:50 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Klar gilt das immer, vorausgesetzt, die entsprechenden Reihen konvergieren. Du kannst das auch selber sofort allgemein beweisen. Gehe aus von und berechne . |
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