Abstand von Punkten zu Geraden und Ebenen

13.05.2006, 21:20

Arashi

Abstand von Punkten zu Geraden und Ebenen

Hallo zusammen!
Ich habe (wiedermal) zwei Fragen:

1) Gesucht wurde der minimale Abstand eines Punktes zu einer Geraden.
$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

S(1/2/0,08)

Nun bin ich der Meinung, dass diese Aufgabe sowieso nur eine Lösung hat, wenn man sie über den Weg in meinem Buch löst (dh. Ebene bilden die orthogonal auf g steht und S enthält, dann Durchstoßpunkt (F) von g durch E berechnen, zuletzt den Betrag des Vektors zwischen Durchstoßpunkt und S nehmen.).

$\begin{eqnarray*} E: 2x_1+ 3x_2+ x_3= 8,08 \end{eqnarray*}$
F(1,44/1,66/0,22)
$\begin{eqnarray*} \mid \vec{SF} \mid =0,56 \end{eqnarray*}$
Da die Ebene othogonal steht und den Punkt enthält ist doch der berechnete Abstand der minimale, oder?

2)Gesucht wurden alle Punkte C auf der $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ -Achse, mit denen das Dreieck ABC einen Flächeninhalt von 12,5 hat.

A(-1/-1) B(3/-4)
Daraus habe ich gemacht:
$\begin{eqnarray*} \mid \vec{AB} \mid = 5 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot g\cdot h= A \end{eqnarray*}$ gilt und g=5 ist, muss h auch 5 sein, h ist meiner nach ist der Abstand der Punkte c von g.
Ich gebe also eine Gleichung der Geraden in der Hesse'schen Normalformel

$\begin{eqnarray*} g: [\vec{x}-\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}] \cdot \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 4\\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und durch einsetzen in die Formel $\begin{eqnarray*} d=\mid (\vec{r}- \vec{p} ) \cdot \vec{n_0} \mid \end{eqnarray*}$ ergibt sich dann:
$\begin{eqnarray*} 5= \mid \begin{pmatrix} x_1 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{5}\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix}\mid \end{eqnarray*}$

Jetzt zu meiner Frage: Laut meinem Buch sollen zwei Lösungen für die $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ -Koordinaten vorkommen, ich komme auf 6 und -6,5, aber ich bin mir nicht sicher ob das korrekt ist.
Es wäre nett wenn ihr euch das mal ansehen könntet.
Danke

13.05.2006, 21:43

therisen

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RE: Abstand von Punkten zu Geraden und Ebenen

Zitat:

Original von Arashi
dass diese Aufgabe sowieso nur eine Lösung hat, wenn man sie über den Weg in meinem Buch löst (dh. Ebene bilden die orthogonal auf g steht und S enthält, dann Durchstoßpunkt (F) von g durch E berechnen, zuletzt den Betrag des Vektors zwischen Durchstoßpunkt und S nehmen.).

Nein. Das ist nur eine Lösungsmöglichkeit. Es gibt noch mindestens eine weitere.

Gruß, therisen

13.05.2006, 21:47

Arashi

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Das kann gut sein und ich bin mir auch sicher, dass es sie gibt, aber mich interessiert, was die Bedeutung des Begriffs "minimaler" Abstand in diesem Fall aussagen soll, der minimale Abstand liegt doch aus der Lösungsmöglichkeit vor, oder?

13.05.2006, 21:59

Bjoern1982

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Also für mich ist der Abstand immer die kürzeste Entfernung.
Demnach fände ich die Fragestellung nach der minimalen Entfernung irgendwie besser...

Aber durch deinen Lösungsweg hast du das mit Sicherheit richtig gelöst.

Gruß Björn

14.05.2006, 09:19

riwe

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eine alternative lösungsmöglichkeit. und der negative wert von C dürfte nicht stimmen
werner

14.05.2006, 12:18

Arashi

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Zitat:

der negative wert von C dürfte nicht stimmen

Ich habe es nachgerechnet, -10,67 kann kein Wert von C sein, wenn man die Gleichung löst ergibt sich nicht 5 sondern 8,336.

Zitat:

Aber durch deinen Lösungsweg hast du das mit Sicherheit richtig gelöst.

Danke! ^_^ Ich war beunruhigt über die Formulierung der Aufgabe. Ich habe mir nochmal Gedanken gemacht und bin zu dem Ergebnis gekommen, dass die Entfernung (meiner Meinung nach) sowieso immer am kürzesten ist, wenn zwei Punkte/Geraden/etc. senkrecht zueinander stehen. Das ist ja mit der Formel gegeben, da die Ebene (die den Punkt enthält) senkrecht auf der Geradxen steht.

14.05.2006, 12:51

riwe

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dann hast du zwar nachgerechnet, aber dein ergebnis ist trotzdem falsch!
gerade durch AB: 3x + 4y + 7 = 0
mit der HNF bekommst du die 2 parallelen geraden:
$\begin{eqnarray*} \frac{3x+4y+7}{5}=\pm 5 \end{eqnarray*}$
g1: 3x + 4y - 18 = 0
g2: 3x + 4y + 32 = 0
und damit C1(6/0) und C2(-10.67/0).
und euklid hat immer recht! Big Laugh

werner

n.s. wie kommst du auf 5?

29.05.2006, 13:26

Arashi

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Stimmt...
Ich habe die Blätter mit meinen Lösungen weggeworfen, nachdem ich meine Matheprüfung hatte...Ich habe aber irgendeinen Fehler gemacht, den ich in dem ganzen Streß nicht gefunden habe.
Danke für Eure Hilfe, ich glaube ohne Euch hätte ich die Prüfung nicht mit 2+ bestanden! ^_^
Arashi

29.05.2006, 14:51

riwe

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RE: Abstand von Punkten zu Geraden und Ebenen
zu 2) nein, da liegst du daneben.
stelle 2 (!) zu AB parallele geraden im abstand +/- 5 auf und setze y = 0:
S1(6/0) und S2(-10.66666......../0).
werner
ich idiot, kam mir ja gleich so bekannt vor!
mein PC spinnt/sponn (?) mal wieder und zeigte mir nur den oberen teil Big Laugh

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