x^y = y^x nach x auflösen?

14.05.2006, 11:55

DudE

x^y = y^x nach x auflösen?

hallo! suche ne lösung für die gleichung x^y = y^x
nen praktischen bezug dazu kann ich zwar grad nicht liefern, aber mich nervt die tatsache dass ich diese gleichung nicht lösen kann! gibts jemand ders schafft?

14.05.2006, 12:00

JochenX

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alle Lösungen findest du allgemein sicher nicht.

Es ist x=y eine Lösung (wenn "legal"), Plotterbilder zeigen keinen weiteren Zusammenhang zwischen möglichen weiteren Nullstellen, die sehen aber eh komisch aus.

Einschränkungen für x,y? ist y fest gewählt?

ich würd's gern *verschoben* haben, praktikable HöMa sehe ich da nicht.
Weiß aber nicht wohin damit. Augenzwinkern

14.05.2006, 13:58

Frooke

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Man kann es mit Lambert-W versuchen:

$\begin{eqnarray*} x^y=y^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y\ln x=x\ln y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y\ln \left(\frac{1}{x}\right)=x\ln \left(\frac{1}{y}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}\ln \left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{y}\ln \left(\frac{1}{y}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \exp\left( \ln\left(\frac{1}{x}\right)\right)\ln \left(\frac{1}{x}\right)=\exp \left(\ln\left(\frac{1}{y}\right)\right)\ln \left(\frac{1}{y}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln\left(\frac{1}{x}\right)=\ln\left(\frac{1}{y}\right) \end{eqnarray*}$

... Mal abgesehen von Definitionsbereichen denke ich, dass einfach die Bedingung x=y diese Gleichung erfüllt.

14.05.2006, 17:42

quarague

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mit den Umformungen kann man auch zeigen, das x=y die einzige Lösung (für x,y positiv reell) ist. Man definiert
$\begin{eqnarray*} f(x):=\frac{1}{x}ln\frac{1}{x}=-\frac{lnx}{x} \end{eqnarray*}$
jetzt suchen wir Werte x und y mit f(x)=f(y)
die Funktion f ist aber streng monoton wachsend
also ist x=y die einzige Lösung

14.05.2006, 18:02

papahuhn

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Zitat:

Original von quarague
mit den Umformungen kann man auch zeigen, das x=y die einzige Lösung (für x,y positiv reell) ist. Man definiert
$\begin{eqnarray*} f(x):=\frac{1}{x}ln\frac{1}{x}=-\frac{lnx}{x} \end{eqnarray*}$
jetzt suchen wir Werte x und y mit f(x)=f(y)
die Funktion f ist aber streng monoton wachsend
also ist x=y die einzige Lösung

$\begin{eqnarray*} 2^4 \neq 4^2 \end{eqnarray*}$ ?

14.05.2006, 19:05

Lazarus

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Ich hab die Aufgabe für ne Hilfsüberlegung ein bisschen modifizert:
$\begin{eqnarray*} f_t(x):=x^t-t^x \quad;\;x\in \mathbb D_{\mathrm m\mathrm a\mathrm x}\; ;\; t\in \mathbb R^+ \end{eqnarray*}$

Jede dieser Funktionen hat sowohl ein Maximum als auch mindestens eine Nullstelle.
für $\begin{eqnarray*} t=exp(1) \end{eqnarray*}$ liegt eine doppelte Nullstelle vor, sonst aber mindestens echt zwei für $\begin{eqnarray*} t>1 \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} t\leq 1 \end{eqnarray*}$ mindestens eine.

Das bedeutet für die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y):=x^y-y^x \;; \quad x,y\in \mathbb R^+ \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} y=x \end{eqnarray*}$ als Triviallösung für $\begin{eqnarray*} x+y >2 \end{eqnarray*}$ jedoch nicht die Einzige ist.

Wie Frooke hab ich auch an LambertW gedacht, hab das mal versucht (war nicht angenehm...)
Bei mir ist dann am schluss das da rausgekommen:
$\begin{eqnarray*} x=\frac{-y{\it \operatorname{LambertW}} \left( -{\frac {\ln \left( y \right) }{y}} \right)}{\ln \left( y \right)} \end{eqnarray*}$
Hier muss man halt wieder den Passenden Def-Bereich beachten.

Die beiden Lösungen Graphisch:

Zu Lesen ist das Folgendermaßen
$\begin{eqnarray*} x\leq 1 & \rightarrow &\text{Nur Blau} \\ 1<x\leq e & \rightarrow & \text{Rot + Blau}\\ e<x & \rightarrow &\text{Grün + Blau} \end{eqnarray*}$

Servus

14.05.2006, 21:11

Frooke

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Zitat:

Original von Lazarus
Wie Frooke hab ich auch an LambertW gedacht, hab das mal versucht (war nicht angenehm...)
Bei mir ist dann am schluss das da rausgekommen:
$\begin{eqnarray*} x=\frac{-y{\it \operatorname{LambertW}} \left( -{\frac {\ln \left( y \right) }{y}} \right)}{\ln \left( y \right)} \end{eqnarray*}$

Das lässt sich aber noch vereinfachen, denn es ist

$\begin{eqnarray*} \operatorname{W} \left( -{\frac {\ln \left( y \right) }{y}} \right)=\operatorname{W} \left(\ln \left( \frac{1}{y} \right)\frac{1}{y} \right)=\operatorname{W} \left(\ln \left( \frac{1}{y} \right)\mathrm e^{\ln\left(\frac{1}{y}\right)} \right)=\ln\left(\frac{1}{y}\right) \end{eqnarray*}$

Ist schon mühsam... smile

14.05.2006, 21:51

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Also wir reden nur von positiven $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ , oder?

Dann gilt $\begin{eqnarray*} x^y=y^x \quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt[x]{x} = \sqrt[y]{y} \end{eqnarray*}$

Und dann betrachten wir den Graph von $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt[x]{x} \end{eqnarray*}$ :

Also gibt es für $\begin{eqnarray*} 1<\sqrt[y]{y}<e \end{eqnarray*}$ außer $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ noch genau eine zweite Lösung (im Plot das Beispiel y=6). Und für die zahlreichen LambertW-Fans hier: Denkt mal an den zweiten Zweig dieser Funktion...

16.05.2006, 12:59

Lazarus

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Zitat:

Original von Frooke

Zitat:

Nur für 0<x<e

23.05.2006, 17:17

Frooke

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Ja, dieser Zweig... unglücklich

28.09.2008, 10:47

Markus1209481205

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Hallo,

Du kannst keine Auflösung der Form $\begin{eqnarray*} y=y(x) \end{eqnarray*}$ erwarten, da y keine Funktion von x ist (weil x=2, y=2 und x=2, y=4 Lösungen sind), während eine Gleichung (in der Gestalt einer Formel) für y in Abhängigkeit von x jedoch dies impliziert (namentlich, dass es zu jedem x genau ein y gibt).

Da kannst aber versuchen die Lösungsmenge $\begin{eqnarray*} \Gamma:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;\ x^y=y^x\} \end{eqnarray*}$ zu parameterisieren, z.B. also durch eine oder mehrere Kurven zu beschreiben.

Dazu nehmen wir $\begin{eqnarray*} (x,y)\in\Gamma \end{eqnarray*}$ . Ich betrachte mal den Fall $\begin{eqnarray*} x,y > 0 \end{eqnarray*}$ :
Definiere $\begin{eqnarray*} t=y/x > 0 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt
$\begin{eqnarray*} x^y=(x^t)^x,\;\; y^x=x^xt^x \Rightarrow (x^{t-1})^x=t^x \Rightarrow x^{t-1}=t \Rightarrow x=t^{1/(t-1)}\Rightarrow y=xt=t^{t/(t-1)} \end{eqnarray*}$ .

Somit gehört die Kurve $\begin{eqnarray*} \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t^{1/(t-1)}, t^{t/(t-1)}), t\neq 1 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \Gamma \end{eqnarray*}$ , und beschreibt neben der Lösungskurve $\begin{eqnarray*} x=y (t=1) \end{eqnarray*}$ die einzigen Lösungen
im Quadranten $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^+\times \mathbb{R}^+ \end{eqnarray*}$ , d.h. also $\begin{eqnarray*} \Gamma \cap (\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}^+)=\text{bild}(\gamma)\cup\{(x,x)|\ x>0\} \end{eqnarray*}$ .

28.09.2008, 14:25

Ungefähr

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RE: x^y = y^x nach x auflösen?
Denke, dass es unendlich viele Lösungen für deine Gleichung gibt. Du kannst deine Gleichung zur folgenden Gleichung umschreiben:
ln(y)/y=ln(x)/x
Da hierbei für y und die x Variable die gleichen Operationen durchgeführt werden, definierst du folgende Beziehung:
u=ln(z)/z, z>0
Die Ableitung dieser Beziehung du/dz=(1-lnz)/z² ergibt eine Nullstelle bei z=e mit dem Wert u(e)=1/e. Die zweite Ableitung wird zeigen, dass u(e) ein Höhepunkt ist. Da keine weiteren Extrema existieren und (z->unendlich)lim u(z)=0, ergibt sich folgende Lösungsfunktion:
ln(z)-uz=0 mit 0<u<1/e
Für jedes 0<u<1/e ergeben sich zwei reelle Lösungen: u1=x und u2=y
Da es wahrscheinlich unendlich viele reelle Zahlen zwischen 0 und 1/e gibt, gibt es auch unendlich viele Lösungen.
(sorry, die mathematische Beweißführung ist etwas übel, jedoch kann man sich die Ergebnisse sehr gut anhand des Plottes u=ln(z)/z erklären.)
Für die Lösung x=2 und y=4 ist u=0,34657359. Da für u<=0 mit z<=1 nur eine reelle Lösung existiert, ergibt sich ausschließlich x=y.

28.09.2008, 14:31

Airblader

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Ich erinnere mich noch ganz gut daran, dass WebFritzi hier mal über die Differentialrechnung einen kleinen Beweis gepostet hatte, dass es für alle x>1 und x ungleich e eine Lösung y gibt, für die nicht x=y gilt.
Dieser Beweis war recht simpel, von daher auch für Schüler ganz gut geeignet smile

Edit: Und hier ist es. wann gilt...

Aber: Muss man das nun nach 2 Jahren ausgraben verwirrt

air

04.08.2010, 14:56

CnndrBrbr

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x^y-y^x
Die Nullstellen der Funktion x^y-y^x lassen sich visualisieren:

[attach]15656[/attach]

Edit (mY+): Link zu externer Uploadseite entfernt und Bild (etwas verkleinert) im Beitrag angehängt. Zum Vergr. klicken!

04.08.2010, 15:05

Leopold

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[tiefe_Stimme_gähnende_Sprechweise]Uuuuaaaaahh! Wer weckt mich aus tiefem Schlafe ... [/tiefe_Stimme_gähnende_Sprechweise]

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x^y = y^x nach x auflösen?

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