Teilbarkeit n-stelliger Zahlen

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Airblader Auf diesen Beitrag antworten »
Teilbarkeit n-stelliger Zahlen
Hi,

bei dem "größte Primzahl"-Rätsel kam mir eine Frage auf.
Ich habe nicht wirklich eine Antwort. Vllt. ist die auch sehr lang - wer weiß. Aber ich finds lustig, da man sicher gut dran "rumspielen" kann.

Folgende Fragestellung:

Gegeben sei eine n-Stellige Zahl mit der Quersumme n. Für welche n ist jede bzw. keine dieser Zahlen durch n teilbar?

Beispiel:

ist trivial: Die einzige Zahl ist 1 und diese ist durch 1 teilbar.

als zweiter Fall beinhaltet die Zahlen 11 und 20. Hier ist es "unentschieden": 2 teilt 20, aber nicht 11.

ist wieder einfach: Da die Zahlen die QS = 3 haben ist die Zahl nach bekannter Teilbarkeitsregel stets durch 3 teilbar.

.. und das nun für möglichst viele n beantworten. Anstatt nach und nach die natürlichen Zahlen abzustapfen sollte man natürlich irgendwann ganze Gruppen zusammenfassen (a la "für alle n mod 7 = 0" oder so - je nachdem, was überhaupt möglich ist).
Für einzene Zahlen eine Antwort zu finden ist natürlich genauso gut. Finde dieses "Rätsel" ein ganz nettes Projekt, wo Programm-Schreiber bis brutalster Zahlentheoretiker was beitragen kann. Wer weiß, wie weit man kommt ... Augenzwinkern


air
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, bis hinauf zu n=9 ist die Frage ja geklärt, dass zumindest eine Zahl durch n teilbar ist. Augenzwinkern

Genauso ist für alle geraden Zahlen n geklärt, dass es eine Zahl gibt, die NICHT durch n teilbar ist.

Von wenigen (endlich vielen?) Ausnahmen für n abgesehen wird das der Normalfall sein: Dass es sowohl solche Zahlen gibt, die durch n teilbar sind, als auch solche, die nicht durch n teilbar sind.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Dass es anfangs sehr schnell geht und man vieles klären kann, ist klar. Aber nun kommt dann doch der interessante Teil Augenzwinkern

air
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, dazu habe ich ja einiges gesagt. Ich wäre überrascht, wenn du außer n=3 und n=9 weitere Ausnahmen finden würdest.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Du selbst hast aber eine gute Frage gestellt: Gibt es nur endlich viele Ausnahmen?
Oder ein anderer Punkt, um die Frage etwas umzuformulieren: Welche Ausnahmen gibt es?

air
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Die Behauptung, dass es für alle außer 1, 3 und 9 solche Zahlen gibt, die NICHT durch teilbar sind, ist einfach nachweisbar durch einen indirekten Beweis.

Der andere Teil, dass es für alle solche Zahlen gibt, die durch teilbar sind, ist sicher etwas schwieriger.
 
 
Nek-roman Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Gegeben sei eine n-Stellige Zahl mit der Quersumme n. Für welche n ist jede bzw. keine dieser Zahlen durch n teilbar?


hab ich das richtig verstanden, dass eine Zahl durch die Anzahl ihrer eigenen Stellen teilbar sein soll? wobei die anzahl der stellen immer der Quersumme entsprechen soll? Bsp. 11111 ; 1120111 ; 202020 ; 300330000
AD Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es.
pandu1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube hier sollte man kleinere Zahlen suchen, die man danach mit Nullen auffüllen kann. Mit Rechnerhilfe habe ich interessante Eigenschaften von Zahlen wie 19,199,1999,19999... gesehen. Wenn man 19 mit Zahlen 6,7... 15 multipliziert, ist die Quersumme gleich der Zahl. Ab 16 geht es mit 199 weiter...
Hier eine Liste (erste Zahl, multipliziert mit der zweiten Zahl ergibt die dritte Zahl, deren Quersumme gleich der erster Zahl ist)
6 19 114
7 19 133
8 19 152
9 19 171
10 19 190
11 19 209
12 19 228
13 19 247
14 19 266
15 19 285
16 199 3184
17 199 3383
18 199 3582
19 199 3781
20 199 3980
21 199 4179
22 199 4378
23 199 4577
24 199 4776
25 199 4975
26 1999 51974
27 1999 53973
28 1999 55972
29 1999 57971
30 1999 59970
31 1999 61969
32 1999 63968
33 1999 65967
34 1999 67966
35 1999 69965
36 19999 719964
37 19999 739963
38 19999 759962
39 19999 779961
40 19999 799960
41 19999 819959
42 19999 839958
43 19999 859957
44 19999 879956
45 19999 899955
46 199999 9199954
47 199999 9399953
48 199999 9599952
49 199999 9799951
50 199999 9999950
51 1999999 101999949
52 1999999 103999948
53 1999999 105999947
54 1999999 107999946
55 1999999 109999945
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du schon soweit bist, dann kannst du doch gleich mal versuchen, diese Idee in einen allgemeinen Beweis umzusetzen. smile
pandu1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist nicht so ganz einfach, glaub ich. Vielleich stimmt es bei größeren Zahlen auch nicht.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, es stimmt! Freude


Nach Sichtung deines Zahlenmaterials kann man folgendes sagen: Es sei die kleinste ganze Zahl mit . Dann gilt



für alle .


Aus folgt aber andererseits

.

Für genügend große ist , mit der gemäß (2) ganzen Zahl



erreicht man somit genau das gewünschte Ziel .


P.S.: Übrigens ist deine Mühe (und meine ergänzender Beweis) ein schönes Beispiel für das, was ich hier gesagt habe:

Mathematik - Interesse JA; Können EHER NICHT


EDIT: Hab den Beweis wegen einiger Fehler nochmal umgeschrieben. Augenzwinkern
pandu1 Auf diesen Beitrag antworten »

Super!
Auf die 19 bin ich noch ohne Rechner's Hilfe gestoßen. Ähnliche Eigenschaften haben auch größere Zweisteller mit der Quersumme 10, die waren aber nicht lückenlos. Für 20 war 199 die kleinste Zahl p mit QS(20*p) = 20.
Immer suchen, und irgendwas wurd gefunden.
Danke für Beweis! Freude
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Na dann erledigen wir doch gleich noch den Rest:

Zitat:
Original von Arthur Dent
Die Behauptung, dass es für alle außer 1, 3 und 9 solche Zahlen gibt, die NICHT durch teilbar sind, ist einfach nachweisbar durch einen indirekten Beweis.

Angenommen, es gibt ein , für das die Behauptung nicht stimmt. Dann muss jede -stellige Zahl mit Quersumme durch teilbar sein.

Betrachten wir eine beliebige solche Zahl , die enthält irgendwo zwei aufeinander folgende Ziffern, die nicht beide Null und nicht beide Neun sind. Dann bilden wir aus die Zahl , indem wir die kleinere der beiden genannten Ziffern um Eins erhöhen, und die größere um Eins vermindern. Offensichtlich hat dann auch die Quersumme und muss nach unserer Annahme also durch teilbar sein. Gleiches gilt dann für die Differenz

.

Ist 2 oder 5 ein Teiler von , dann steht jede beliebige Zahl mit Endziffer 1 im Widerspruch zu unserer Annahme. Bleiben also die Fälle , das sind die Möglichkeiten , und die wurden in der Behauptung ja explizit ausgeschlossen.
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