Lösen von Funktion 4.Grades

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fedorov_91 Auf diesen Beitrag antworten »
Lösen von Funktion 4.Grades
Ich habe folgendes Problem:

Bestimme eine ganzrationale Funktion vierten Grades, sodass für den Graphen der Funktion gilt:

T(2|4) ist ein relativer Tiefpunkt, W(0|0) ist ein Wendepunkt, die Wendetangente hat die Steigung 1.


Also ich weiß das die allgemeine Funtion 4. Grades so aussieht:

f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e

Ich hab natürlich die Ableitungen bis zur vierten gebildet, aber ich weiß nicht wo ich ansetzen soll...

Könnt ihr mir helfen?

MfG
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösen von Funktion 4.Grades
Dann schreibe doch mal die ersten beiden Ableitungen (mehr brauchst du nicht) mal hin.
fedorov_91 Auf diesen Beitrag antworten »

f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d

dann ist bei f'(2) eine nullselle und die Steigung von f(2) ist 0


f''(x)=12ax^2+6bx+2c

also bei f''(0) ist x=0 und f'''(x)ungleich 0


das hab ich beides schon gehabt, aber ich weiß einfach nicht wie ich jetzt weiter vorgehen soll, bei mir hat es noch nicht "klick" gemacht;-)
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fedorov_91
dann ist bei f'(2) eine nullselle und die Steigung von f(2) ist 0

Vielleicht liegt es auch an deiner ungenauen Ausdrucksweise. Die Steigung von f(2) ist nicht Null, weil f(2) überhaupt keine Steigung hat, sondern schlicht ein bestimmter Funktionswert ist. Richtig ist: die Steigung der Funktion an der Stelle x=2 ist Null, was ja auch mit der Gleichung f'(2)=0 ausgedrückt wird. Also setze mal x=2 in die 1. Ableitung f'(x) ein.
fedorov_91 Auf diesen Beitrag antworten »

ja stimmt das habe ich falsch formuliert.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du denn jetzt aus den Bedingungen die jeweiligen Gleichungen aufstellen?
 
 
fedorov_91 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ich weiß nicht welche Gleichungen du meinst.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Beispiel bekommst du eine Gleichung, wenn du x=2 in die Ableitung f'(x) einsetzt.
fedorov_91 Auf diesen Beitrag antworten »

f'(2)=0
0=32a+12b+4c+d

f''(2)=4
4=48a+12b+2c
0=48a+12b+2c - 4


Ich seh aber immer noch nicht wie ich zur lösung komme.
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Du die vorgegebenen Eigenschaften als Gleichungen formulierst, bekommst Du davon insgesamt fünf.

Weil alle Gleichungen erfüllt sein müssen, bilden sie ein Gleichungssystem -- und damit können dann die passenden Werte für a, b, c, d, e bestimmt werden.

Nur als Hinweis: Wende- und Tiefpunkt liegen natürlich auf dem Graphen der Funktion.



Zitat:
Original von fedorov_91
also bei f''(0) ist x=0 und f'''(x)ungleich 0


Nein, ist keine notwendige Bedingung dafür, dass x0 eine Wendestelle ist! (sondern eine hinreichende):

Wenn , dann ist x0 Wendestelle. Aber die Umkehrung gilt nicht. Es kann sein und x0 trotzdem eine Wendestelle.



// Korrektur
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fedorov_91
f''(2)=4

Es ist nicht f''(2)=4, sondern f(2)=4. Lehrer

Im übrigen braucht man insgesamt 5 Gleichungen.
fedorov_91 Auf diesen Beitrag antworten »

warum ist nicht f''(2)=4, weil die x=2 ist doch eine Nullstelle der 1. Ableitung, und damit die x-koordinate, für einen punkt in der funktion f(x). und wenn man für x=2 einsetzt bei f''(x), dann ist das doch die y-koordinate für diesen punkt, an dem die steigung=0 ist oder nicht?
fedorov_91 Auf diesen Beitrag antworten »

ach nein was rede ich denn..... sry natürlich nicht, man setzt es in f'' ein um zu überprüfen ob es sich um eine maximal-, minimalstelle, oder einen sattelpunkt handelt...

sry das war dumm^^
roflcopter Auf diesen Beitrag antworten »

du hast doch 2 punkte gegeben die kannst du einfach in die funktion einsetzen
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fedorov_91
und wenn man für x=2 einsetzt bei f''(x), dann ist das doch die y-koordinate für diesen punkt, an dem die steigung=0 ist oder nicht?

Nöö, wieso? Wenn man die y-Koordinate eines Punktes wissen möchte, dann muß man immer noch die x-Koordinate in die Funktion f(x) einsetzen und in keine andere.
fedorov_91 Auf diesen Beitrag antworten »

@klarsoweit:

ich weiß, hatte mich ja schon verbessert;-)
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das hatte sich überschnitten. Wie sieht es denn jetzt mit der Lösung der Aufgabe aus?
fedorov_91 Auf diesen Beitrag antworten »

nicht wirklich, ich weiß einfach nicht wie ich diese gleichungen aufstellen soll..

also ich hab das hier:

f(0)=0
0=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e
0=e

also e muss dann glaub ich 0 sein.


aber weiter weiß ich nicht.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fedorov_91
0=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e

Formal unsauber. Richtig wäre: , woraus dann in der Tat e=0 folgt.
Analog stellst du die anderen 4 Gleichungen auf.
fedorov_91 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die Aufgabe gelöst:

f'(2)=0 =32a+12b+4c+d
f(2)=4 =16a+8b+4c+2d+4
f''(0)=0 =2c
f(0)=0 =e
f'(0)=1 =d

c=0
d=1
e=0

1. 32a+12b+1=0 | *1
2. 16a+8b+2 =4 |*(-2)

-4b-3=-8
-4b=-5

b=5/4=1,25


16a+8*(5/4)+2=4
16a+12=4
16a=-8

a=-1/2


f(x)=-1/2x^4+5/4x^3+x




jetzt muss man nur noch die bedingungen für Tief- und Wendepunkt überprüfen. Und ich bin zu dem Schluss gekommen, dass es sich nicht um einen Tiefpunkt bei T(2|4) handelt. Sondern um einen Hochpunkt.


Danke für eure Hilfe:-)
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann jetzt auch keinen Fehler finden. Da es anscheinend kein Polynom 4. Grades mit den geforderten Eigenschaften gibt, ist die Aufgabe in dieser Form nicht lösbar.
imyselfandme Auf diesen Beitrag antworten »

b ist 4 und somit wäre a -15/8
Ich habe das Ergebnis überprüft und es stimmt:


32a+ 12b + 1 = 0 | :2
<=> 16a + 6b + 1/2 = 0 | -
16a +8b +2 = 4
-------------------------------------
-2b - 3/2 = - 4
<=> b = 4
b eingesetzt ergibt

16a + 32 + 2 = 4
<=> a =-15/8

Die gesuchte Funktion lautet:

f(x) = -15/8 x^4 + 4x^3+x

Wenn man bei der Probe z.B. f(2) einsetzt kommt auch wirklich 4 raus. Also müsste das Ergebnis eigentlich stimmen.
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