Lösen von Funktion 4.Grades |
15.08.2008, 10:24 | fedorov_91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Lösen von Funktion 4.Grades Bestimme eine ganzrationale Funktion vierten Grades, sodass für den Graphen der Funktion gilt: T(2|4) ist ein relativer Tiefpunkt, W(0|0) ist ein Wendepunkt, die Wendetangente hat die Steigung 1. Also ich weiß das die allgemeine Funtion 4. Grades so aussieht: f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e Ich hab natürlich die Ableitungen bis zur vierten gebildet, aber ich weiß nicht wo ich ansetzen soll... Könnt ihr mir helfen? MfG |
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15.08.2008, 10:30 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Lösen von Funktion 4.Grades Dann schreibe doch mal die ersten beiden Ableitungen (mehr brauchst du nicht) mal hin. |
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15.08.2008, 10:41 | fedorov_91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d dann ist bei f'(2) eine nullselle und die Steigung von f(2) ist 0 f''(x)=12ax^2+6bx+2c also bei f''(0) ist x=0 und f'''(x)ungleich 0 das hab ich beides schon gehabt, aber ich weiß einfach nicht wie ich jetzt weiter vorgehen soll, bei mir hat es noch nicht "klick" gemacht;-) |
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15.08.2008, 10:53 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielleicht liegt es auch an deiner ungenauen Ausdrucksweise. Die Steigung von f(2) ist nicht Null, weil f(2) überhaupt keine Steigung hat, sondern schlicht ein bestimmter Funktionswert ist. Richtig ist: die Steigung der Funktion an der Stelle x=2 ist Null, was ja auch mit der Gleichung f'(2)=0 ausgedrückt wird. Also setze mal x=2 in die 1. Ableitung f'(x) ein. |
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15.08.2008, 10:56 | fedorov_91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja stimmt das habe ich falsch formuliert. |
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15.08.2008, 11:43 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kannst du denn jetzt aus den Bedingungen die jeweiligen Gleichungen aufstellen? |
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15.08.2008, 12:53 | fedorov_91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, ich weiß nicht welche Gleichungen du meinst. |
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15.08.2008, 13:00 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zum Beispiel bekommst du eine Gleichung, wenn du x=2 in die Ableitung f'(x) einsetzt. |
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15.08.2008, 15:30 | fedorov_91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
f'(2)=0 0=32a+12b+4c+d f''(2)=4 4=48a+12b+2c 0=48a+12b+2c - 4 Ich seh aber immer noch nicht wie ich zur lösung komme. |
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15.08.2008, 15:42 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn Du die vorgegebenen Eigenschaften als Gleichungen formulierst, bekommst Du davon insgesamt fünf. Weil alle Gleichungen erfüllt sein müssen, bilden sie ein Gleichungssystem -- und damit können dann die passenden Werte für a, b, c, d, e bestimmt werden. Nur als Hinweis: Wende- und Tiefpunkt liegen natürlich auf dem Graphen der Funktion.
Nein, ist keine notwendige Bedingung dafür, dass x0 eine Wendestelle ist! (sondern eine hinreichende): Wenn , dann ist x0 Wendestelle. Aber die Umkehrung gilt nicht. Es kann sein und x0 trotzdem eine Wendestelle. // Korrektur |
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15.08.2008, 15:48 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es ist nicht f''(2)=4, sondern f(2)=4. Im übrigen braucht man insgesamt 5 Gleichungen. |
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15.08.2008, 16:03 | fedorov_91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
warum ist nicht f''(2)=4, weil die x=2 ist doch eine Nullstelle der 1. Ableitung, und damit die x-koordinate, für einen punkt in der funktion f(x). und wenn man für x=2 einsetzt bei f''(x), dann ist das doch die y-koordinate für diesen punkt, an dem die steigung=0 ist oder nicht? |
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15.08.2008, 16:08 | fedorov_91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ach nein was rede ich denn..... sry natürlich nicht, man setzt es in f'' ein um zu überprüfen ob es sich um eine maximal-, minimalstelle, oder einen sattelpunkt handelt... sry das war dumm^^ |
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15.08.2008, 16:09 | roflcopter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
du hast doch 2 punkte gegeben die kannst du einfach in die funktion einsetzen |
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15.08.2008, 16:10 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nöö, wieso? Wenn man die y-Koordinate eines Punktes wissen möchte, dann muß man immer noch die x-Koordinate in die Funktion f(x) einsetzen und in keine andere. |
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15.08.2008, 16:14 | fedorov_91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@klarsoweit: ich weiß, hatte mich ja schon verbessert;-) |
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16.08.2008, 09:41 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das hatte sich überschnitten. Wie sieht es denn jetzt mit der Lösung der Aufgabe aus? |
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16.08.2008, 14:29 | fedorov_91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nicht wirklich, ich weiß einfach nicht wie ich diese gleichungen aufstellen soll.. also ich hab das hier: f(0)=0 0=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e 0=e also e muss dann glaub ich 0 sein. aber weiter weiß ich nicht. |
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18.08.2008, 09:21 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Formal unsauber. Richtig wäre: , woraus dann in der Tat e=0 folgt. Analog stellst du die anderen 4 Gleichungen auf. |
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18.08.2008, 18:47 | fedorov_91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe die Aufgabe gelöst: f'(2)=0 =32a+12b+4c+d f(2)=4 =16a+8b+4c+2d+4 f''(0)=0 =2c f(0)=0 =e f'(0)=1 =d c=0 d=1 e=0 1. 32a+12b+1=0 | *1 2. 16a+8b+2 =4 |*(-2) -4b-3=-8 -4b=-5 b=5/4=1,25 16a+8*(5/4)+2=4 16a+12=4 16a=-8 a=-1/2 f(x)=-1/2x^4+5/4x^3+x jetzt muss man nur noch die bedingungen für Tief- und Wendepunkt überprüfen. Und ich bin zu dem Schluss gekommen, dass es sich nicht um einen Tiefpunkt bei T(2|4) handelt. Sondern um einen Hochpunkt. Danke für eure Hilfe:-) |
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19.08.2008, 09:48 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich kann jetzt auch keinen Fehler finden. Da es anscheinend kein Polynom 4. Grades mit den geforderten Eigenschaften gibt, ist die Aufgabe in dieser Form nicht lösbar. |
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20.08.2009, 17:55 | imyselfandme | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
b ist 4 und somit wäre a -15/8 Ich habe das Ergebnis überprüft und es stimmt: 32a+ 12b + 1 = 0 | :2 <=> 16a + 6b + 1/2 = 0 | - 16a +8b +2 = 4 ------------------------------------- -2b - 3/2 = - 4 <=> b = 4 b eingesetzt ergibt 16a + 32 + 2 = 4 <=> a =-15/8 Die gesuchte Funktion lautet: f(x) = -15/8 x^4 + 4x^3+x Wenn man bei der Probe z.B. f(2) einsetzt kommt auch wirklich 4 raus. Also müsste das Ergebnis eigentlich stimmen. |
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